第2章263知能优化训练VIP免费

1．曲线x2＋4y2＝52与曲线x2＋y2＝37的交点个数为________．解析：由得解得x＝±4，y＝±.故交点有4个．答案：42．若两条直线2x－y＋k＝0与x－y－1＝0的交点在曲线x2＋y2＝1上，则k＝________.解析：由得 交点在x2＋y2＝1上，∴(－1－k)2＋(－2－k)2＝1.解得k＝－1或－2.答案：－1或－23．经过点(0,1)且与抛物线y2＝mx(m>0)有且只有一个公共点的直线共有________条．解析：由图形知点(0,1)在抛物线的外部，过点(0,1)有抛物线的两条切线和一条对称轴的平行线，即共3条．答案：34．直线l：y＝k(x－1)与椭圆＋＝1的交点个数为________．解析： 直线l恒过点(1,0)，而点(1,0)在椭圆的内部．∴直线与椭圆恒有两个交点．答案：2一、填空题1．设椭圆＋＝1的长轴两端点为M、N，异于M、N的点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为________．解析：可设P(x0，y0)，M(－2,0)，N(2,0)，则kPM·kPN＝·＝， ＋＝1，∴y＝×3.∴kPM·kPN＝(4－x)·＝－.答案：－2．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有________条．解析：由于a＝1，所以2a＝2<4，故当A、B在左右两支上时，有两条，由于过F垂直于x轴的弦长恰为4，故A、B均在右支上，有一条，所以共有3条．答案：33．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得线段的中点，则l的方程是________．解析：设直线与椭圆的交点坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又 x1＋x2＝4×2＝8，y1＋y2＝2×2＝4，∴＝－，即kP1P2＝－.由点斜式得l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.答案：x＋2y－8＝04．下列四条曲线：①x2＋y2＝；②＋＝1；③x2＋＝1；④＋y2＝1.其中与直线x＋y－＝0有且仅有一个交点的曲线是________．解析：对于①， d＝＝＝r，∴直线与圆相切，即有且仅有一个交点，故①符合．对于②，由消去y得13x2－18x＋9＝0， Δ＝(18)2－4×9×13>0，∴方程有两个不相等的实根，即直线与椭圆＋＝1有两个不同的交点，故②不符合．对于③，由消去y得5x2－2x＋1＝0， Δ＝20－4×5＝0，∴方程有两个相等的实根，即直线与椭圆x2＋＝1有且仅有一个交点，故③符合．由对称性知，④也符合．答案：①③④5．直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是________．答案：1)和双曲线－y2＝1(b>0)有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，P是两曲线的交点，则△F1PF2面积为________．解析： c2＝a－1＝b＋1，∴a－b＝2.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且不妨设m≥n，则m＋n＝2，m－n＝2.从而m＝＋，n＝－.又m2＋n2＝2(a＋b)＝|F1F2|2，∴F1P⊥F2P.∴S△F1PF2＝mn＝(a－b)＝1.答案：17．已知双曲线－＝1的准线过椭圆＋＝1的焦点，则直线y＝kx＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是________．解析：－＝1的准线方程为x＝±1，而椭圆的焦点坐标为(±，0)，故4－b2＝1，∴b2＝3.故椭圆方程为＋＝1.直线y＝kx＋2与椭圆至多有一个交点的条件是将直线方程与椭圆方程联立后，其判断式Δ≤0，即(4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0，∴162k2－16(4k2＋3)≤0，即k2≤.∴－≤k≤.答案：－≤k≤8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝5，则AB＝________.解析： y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.∴焦点F(1,0)．由抛物线的定义，得AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.答案：7二、解答题9．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在直线l：y＝x＋b.设以AB为直径的圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＋λ(x－y＋b)＝0，即x2＋y2＋(λ－2)x＋(4－λ)y＋(λb－4)＝0. 圆心(，)在直线l：y＝x＋b上并且圆过原点，∴⇒或∴存在这样的直线l，它的方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.10．对于椭圆x2＋＝1，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线x＋＝0平分？若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由．解：设l的方程为y＝kx＋m，由得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0，∴Δ＝4k2m2－4(k2...