1．(2011年高考湖南卷改编)设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程3x±2y＝0，则a的值为________．解析：渐近线方程可化为y＝±x. 双曲线的焦点在x轴上，∴＝(±)2，解得a＝±2，由题意知a>0，∴a＝2.答案：22．若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a等于________．解析：由－＝1可知b＝，而e＝＝＝2，所以a2＋3＝4a2，故a＝1.答案：13．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线－＝1的焦点(4,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝2.答案：24．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________．解析：由e＝及c2＝a2＋b2得e＝，故当双曲线焦点在x轴上时，＝，∴e＝＝.当双曲线焦点在y轴上时，＝，＝，∴e＝＝.答案：或一、填空题1．(2011年高考北京卷)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.解析： 双曲线的焦点在x轴上，∴＝2，∴＝4. a2＝1，∴b2＝4.又 b>0，∴b＝2.答案：22．若双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．解析：双曲线的方程可化为y2－＝1，则a2＝1，b2＝－.由已知得b＝2a，解得m＝－.答案：－3．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________．解析：依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.答案：－＝14．如图所示，F1和F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心、|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：|AF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，|AF1|＝|F1F2|·sin30°＝c.由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝2a.即2a＝(－1)c，∴e＝＝＝＋1.答案：＋15．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是.答案：6．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有________条．解析：已知双曲线方程为－＝1，故P(3,0)为双曲线的右顶点，所以过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．答案：37．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．解析：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：|PF2|＝，又|PF2≥c－a，所以≥c－a，c≤，∴e＝≤，即e的最大值为.答案：8．设一个圆的圆心在双曲线－＝1的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O到该圆圆心的距离是________．解析：由已知得双曲线的上顶点为A(0,3)，上焦点为F(0,5)，设圆心为P(x0，y0)，则y0＝＝4.代入双曲线方程得－＝1，所以x＝，故|PO|＝＝＝.答案：二、解答题9．如图所示，已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．解： 在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a.∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝2a，∴c2＝3a2.又 c2＝a2＋b2，∴2a2＝b2.∴＝.故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.10．如图，已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1与双曲线的交点P满足MP＝3PF1，试求双曲线的离心率．解：连结PF2，设|F1F2|＝2c，由MP＝3PF1知|PF1|＝|MF1|.又△MF1F2为正三角形，∴|PF1|＝×2c＝c，∠PF1F2＝60°，由余弦定理可得：|PF2|＝＝＝c.根据双曲线定义有2a＝|PF2|－|PF1|＝c，∴离心率e＝＝＝.11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2.又 a2＋b2＝c2，∴b2＝1.∴双曲线C的方程为－y2＝1....
