高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理知识导航 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学试题VIP免费

§5二项式定理自主整理1.(a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第_______________项，又称为二项式通项.2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x，则得到公式：(1+x)n=____________________________________________________________.3.当n依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与首末两端“等距离”的两个二项式系数_______________，即_______________.高手笔记1.二项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.3.字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4.二项式的系数从C,C,一直到C,C.5.Tr+1=Can-rbr,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r确定.6.Tr+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r项.7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a、b∈C)的展开式中，第r+1项的二项式系数是C，而第r+1项的系数为C名师解惑1.如何应用二项式的通项公式解题？剖析：通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.（1）运用通项公式Tr+1=C解题，一般都需先转化为方程（组）求出n、r，然后代入通项公式求解.（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.2.二项展开式的性质剖析：（1）如果n是偶数，则中间一项（第+1项）的二项式系数最大；如果n为奇数，则中间1两项（第n+项与+1项）的二项式系数相等并且最大.（2）所有二项式系数的和等于2n，即C+C+…+C=2n.(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.即C++…=C+C+…=2n-1.3.运用二项式定理解题时有哪些常用的方法？剖析：（1）赋值法.在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C+C+…+C=2n;令a=1,b=-1得C-C+C-C+…=0,∴C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.（2）利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧.讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项Tr+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和.分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式系数的和可利用和为2n这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或赋值法求解.解：（1）Tr+1=(-1)r·Cx11-ryr.(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.(4)由（3）知，项的系数最大的项是T7=Cx5y6.(5)由（3）知，项的系数最小的项是T6=-Cx6y5.(6)展开式中，二项式系数的和为C+C+…+C=211.(7)展开式中，各项系数的和为C+…+(-1)11C=(1-1)11=011=0.绿色通道:本题是关于二项式系数性质应用的典型示例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视.变式训练1.求（x2-)9展开式中的①第6项;②第3项的系数;③含x9的项;④常数项.解：①T6=C59(x2)4()5=x3.②T3=C(x2)7()2=9x12,∴第3项系数为9.2③首先利用通项公式去求含x9的项是第几项，再求这一项，即知系数.设第r+1项，含x9，则Tr+1=C(x2)9-r()r，x的幂指数为2(9-r)-r=9,∴r=3.∴含x9项为第4项，T4=C（x2)6()3=x9.④设常数项为第r+1项，Tr+1=C(x2)9-r·()r,则x的幂指数为18-3r=0,即r=6,∴第7项为常数项，T7=C69（x2)9-6()6=.【例2】求(x2+3x+2)5的展开式中含x的项...