4．2.1几个幂函数的导数4．2.2一些初等函数的导数表1．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则P点的坐标为()．A．(－2，－8)B．(－1，－1)，(1,1)C．(2,8)D.解析y′＝3x2，由3x2＝3，得x＝1或x＝－1，∴P点坐标为(1,1)或(－1，－1)．答案B2．下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′|x＝3＝－；④(e3)′＝e3.其中正确的个数为()．A．0个B．1个C．2个D．3个解析(cosx)′＝－sinx，①错，sin＝，′＝0.②错，′＝－，∴y′|x＝3＝－，③正确，e3为常数，(e3)′＝0，④错．答案B3．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为()．A．－9B．－3C．9D．15解析y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.答案C4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则平行于直线PQ的曲线y＝x2的切线方程是________________．解析y＝x2的导数为y′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，又kPQ＝＝1，又切线平行于PQ，∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝.∴切点M，∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.答案4x－4y－1＝05．曲线y＝sinx在点A处的切线方程为________．解析y′＝cosx，y′|x＝＝，所以曲线在A点处的切线方程为y－＝.即x－2y＋－＝0.答案x－2y＋－＝06．已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，求k.解设切点为P(x0，y0)，又y′＝(lnx)′＝.∴点P处的切线斜率为，∴k＝，x0＝，∴P.又点P在直线y＝kx上，∴ln＝k·＝1.∴＝e，即k＝.7．(2011·江西)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为()．A．1B．21C．eD.解析y′＝ex，y′|x＝0＝1.所以，所求切线的斜率为1.答案A8．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2011(x)等于()．A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析f0(x)＝cosx，f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，由此看出，四个一循环，具有周期性，T＝4.∵2011＝4×502＋3，∴f2011(x)＝f3(x)＝sinx.答案A9．曲线y＝log2x的一条切线的斜率为，则切点坐标为________．解析y′＝，由＝，得x＝1.所以切点坐标为(1,0)．答案(1,0)10．函数y＝－2sin的导数为________．解析y＝－2sin＝sinx，故y′＝cosx.答案cosx11．求过曲线y＝ex上的点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．解y′＝ex，∴曲线在点P处的切线的斜率为e1＝e.∴过P点与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为－.∴所求方程为y－e＝－(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.12．(创新拓展)求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．解设切点坐标为(x0，x)，则由于y′＝3x2，所以切线斜率为3x，切线方程为y－x＝3x(x－x0)，它过点(2,0)，∴0－x＝3x(2－x0)∴x0＝0或x0＝3.若x0＝0，则切点坐标为(0,0)，切线方程为y＝0.若x0＝3，则切点坐标为(3,27)，切线方程为y－27＝3×32(x－3)，即27x－y－54＝0.所以，所求直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.2
