课时分层作业(十三)导数的概念及其几何意义(建议用时：40分钟)一、选择题1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直B[由导数的几何意义可知选项B正确．]2．已知函数f(x)在x＝x0处可导，若lim＝1，则f′(x0)＝()A．2B．1C．D．0C[ lim＝1∴lim＝，即f(x0)＝lim＝.故选C.]3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3D．y＝－2x－2B[由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()A．(1，1)B．(－1，1)C．(1，1)或(－1，－1)D．(2，8)或(－2，－8)C[因为y＝x3，所以y′＝lim＝lim[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C.]5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．11D[直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]二、填空题6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________.2[ f′(1)＝2，又lim＝lim＝lim(aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2.]7．(一题两空)已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.2－3[＝＝＝mΔx＋2mx，故f′(x)＝lim＝lim(mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.所以m＝2.又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，故m＝2，n＝－3.]8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．(0，0)[设P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝lim＝lim(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，所以点P处的切线的斜率为2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)．]三、解答题9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．[解] f′(a)＝lim＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为.∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.10．在曲线y＝x2上取一点，使得在该点处的切线：(1)平行于直线y＝4x－5；2(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[解]设y＝f(x)，则f′(x)＝lim＝lim＝lim(2x＋Δx)＝2x.设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为点P处的切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，所以y0＝4，即P(2，4)．(2)因为点P处的切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，且直线2x－6y＋5＝0的斜率为，所以2x0·＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.(3)因为点P处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan135°＝－1，即2x0＝－1，解得x0＝－，所以y0＝，即P.11．(多选题)过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为()A．y＝0B．x＝0C．12x－y－24＝0D．27x－y－54＝0AD[ f(x)＝x3，设切点(x0，x)．则k＝lim＝lim[3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2]＝3x，∴在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，把点(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.故选AD]12．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A．0f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB3的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0.故选B.]13．(一题两空)已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝...
