第3讲函数的单调性与最值1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得0>a≥－.综上所述得－≤a≤0.答案：2．给定函数：①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0，1)上是单调递减函数的是________．(填序号)解析：①是幂函数，在(0，＋∞)上是增函数，不符合；②中的函数是由函数y＝logx向左平移1个单位而得到的，因为原函数在(0，＋∞)上是减函数，故符合；③中的函数图象是由函数y＝x－1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知正确；④中函数显然是增函数，故不符合．答案：②③3．“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的__________条件．解析：若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b)，所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2019·徐州模拟)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.解析：f(x)＝|2x＋a|＝作出函数图象(图略)，由图象知，函数的单调递增区间为，所以－＝3，即a＝－6.答案：－65．函数f(x)＝log(12x－27－x2)的最小值为________．解析：令12x－27－x2>0得f(x)的定义域为(3，9)．设n＝12x－27－x2，则0
0的解集是________．解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f(x)在R上为单调递减函数．不等式f(lgx)＋f(1)>0可化为f(lgx)>－f(1)＝f(－1)，所以lgx<－1，解得00，则函数f(x)在[a，b]上的最小值为________．解析：因为f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以f(0)＝0，令y＝－x，则有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0.所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数．设x10.所以f(x)在R上是减函数．所以f(x)在[a，b]上有最小值f(b)．答案：f(b)11．求y＝a1－2x－x2(a＞0且a≠1)的单调区间．解：令g(x)＝1－2x－x2＝－(x＋1)2＋2，所以g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．当a>1时，函数y＝a1－2x－x2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)；当00)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．解：f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数，所以g(a)＝f(0)＝；当0
