第31课余弦定理与解三角形一、填空题1.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=2,B=6,c=23,则b=.2.在△ABC中,a2-c2+b2=3ab,则C=.3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=.4.在△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.5.(2014·苏北四市期末)在△ABC中,若AB=3,A=120°,且△ABC的面积为1534,则BC边的长为.6.(2014·江西卷改编)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=3,则△ABC的面积是.7.(2014·常州期末)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,22-abc=3,则c=.8.(2014·昆明一模)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边.若cosB=45,a=10,△ABC的面积为42,则b+asinA的值为.二、解答题9.如图,已知正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连接EC,ED,求sin∠CED的值.1(第9题)10.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,且a2+c2-b2=12ac.(1)求sin22AC+cos2B的值;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.11.(2014·北京卷)如图,在△ABC中,B=3,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cos∠ADC=17.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.(第11题)2第31课余弦定理与解三角形1.22.6解析:由余弦定理可得cosC=222-2abcab=32abab=32,所以C=6.3.54.1534解析:根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB,即49=25+BC2-10BCcos120°,解得BC=3,所以△ABC的面积S=12AB×BCsin120°=12×5×3×32=1534.5.7解析:由题意得S△ABC=12×AB×ACsinA=1534,所以1534=12×3AC×32,所以AC=5,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos120°=9+25-2×3×5×1-2=49,于是BC=7.6.332解析:由余弦定理,得cosC=222-2abcab=2-62abab=12,所以ab=6,所以S△ABC=12absinC=332.7.4解析:方法一:由tanA=7tanB,得sinAcosA=7sinBcosB,即sinAcosB=7sinBcosA,所以有sinAcosB+sinBcosA=8sinBcosA,即sin(A+B)=sinC=8sinBcosA.由正、余弦定理可得c=8b×222-2bcabc,即c2=4b2+4c2-4a2,又22-abc=3,所以c=4.方法二:同(1)得sinAcosB=7sinBcosA,根据余弦定理可得a×222-2acbac=7×b×222-2bcabc,解得c2=4b2+4c2-4a2,下同方法一.8.162解析:由cosB=45,得sinB=35,所以S△ABC=12acsinB=12×10×c×35=42,所以c=14,所3以b2=c2+a2-2accosB=142+102-2×10×14×45=72,所以b=62,所以b+asinA=62+bsinB=62+6235=162.9.因为AE=1,正方形的边长也为1,所以ED=22AEAD=2,EC=22()EAABCB=5,CD=1,所以cos∠CED=222-2·EDECCDEDEC=31010,sin∠CED=21-cosCED=1010.10.(1)由余弦定理得cosB=222-2acbac=14,sin22AC+cos2B=cos22B+cos2B=12(1+cosB)+2cos2B-1=12×114+2×214-1=-14.(2)由cosB=14,得sinB=154.因为b=2,所以a2+c2=12ac+4≥2ac,得ac≤83,所以S△ABC=12acsinB≤153(当且仅当a=c时取等号).故S△ABC的最大值为153.11.(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=17,所以sin∠ADC=437.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B=437×12-17×32=3314.(2)在△ABD中,由正弦定理得4BD=ABsinBADsinADB=33814437=3,所以BC=5.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=82+52-2×8×5×12=49,所以AC=7.综上,BD=3,AC=7.5
