第四节几何概型、互斥事件的概率课时作业练1.(2018苏锡常镇四市高三调研)欧阳修在《卖油翁》中写到:“乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺高超.若铜钱的直径为2cm,中间有个边长为0.5cm的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),则油滴恰好落入孔中的概率是.答案14π解析正方形小孔的面积为0.5×0.5=0.25cm2.铜钱的直径为2cm,则半径为1cm,则铜钱所在整个圆的面积为π×12=πcm2,故所求概率P=0.25π=14π.2.(2019江苏盐城高三模拟)一个袋子中装有2个红球和2个白球(除颜色外其余均相同),现从中随机摸出2个球,则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为.答案56解析从2个红球和2个白球中随机摸出2个球,共有6种结果,其中摸出的2个球中没有红球的结果有1种,则摸出的2个球中至少有1个是红球的概率为1-16=56.3.(2019江苏三校高三模拟)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次性随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.答案561解析记两只黄球为黄A与黄B,则所有的摸球结果为红、白,红、黄A,红、黄B,白、黄A,白、黄B,黄A、黄B,共6种情况,其中颜色不同的情况有5种,则所求概率P=56.4.(2018江苏苏州学业调研)苏州轨道交通1号线每5分钟一班,其中列车在车站停留0.5分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机的,则该乘客到达站台能立即乘上车的概率为.答案110解析在5分钟内,有0.5分钟乘客到达站台能立即乘上车,则所求概率为0.55=110.5.在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在(0,+∞)上恒成立的概率为.答案45解析要使2x2-ax+8≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,只需ax≤2x2+8,x∈(0,+∞),即a≤2x+8x在(0,+∞)上恒成立.又2x+8x≥2√16=8,当且仅当x=2时等号成立,故只需a≤8,因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8-010-0=45.6.(2018江苏扬州高三调研)袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外其余均相同.现从中随机摸出1只球,若摸出的球不是红球的概率为0.8,不是黄球的概率为0.5,则摸出的球是蓝球的概率为.答案0.3解析设“摸出的球为红球”为事件A,“摸出的球为黄球”为事件B,“摸出的球为蓝球”为事件C,则P(A)=0.2,P(B)=0.5,因为A,B,C为互斥事件,所以P(C)=0.3.7.(2019江苏高考模拟)某校有A、B两个学生食堂,若甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则此三人不在同一食堂用餐的概率为.答案342解析由题意知基本事件共有8种,其中此三人在同一食堂用餐的结果有2种,则此三人不在同一食堂用餐的概率为1-28=34.8.(2018江苏南通高考冲刺小练)已知f'(x)是函数f(x)=sin2x+3的导函数,在区间[-π3,2π3]上随机取一个数a,则f'(a)>√2的概率为.答案14解析f'(a)=2cos2a>√2,则cos2a>√22,则2a∈[-π4,π4],a∈[-π8,π8],则所求概率为π8-(-π8)2π3-(-π3)=14.9.(2019江苏扬州中学高三模拟)从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为a,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记为b,则a≤b的概率为.答案89解析由题意可知(a,b)的所有可能结果有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4),共9种,其中不满足a≤b的只有(3,2),则所求的概率为1-19=89.10.(2018江苏南通高考冲刺小练)分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为.答案π-22解析设正方形ABCD的边长为2,则矩形的面积S=2×2=4,空白区域的面积是2×(4-π)=8-2π,所以阴影区域的面积为4-(8-2π)=2π-4.3所以所求概率P=2π-44=π-22.11.某节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内的任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.求这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率.解析设通电x秒后第一串彩灯闪亮,y秒后第二串彩灯闪亮,依题意得0≤x≤4,0≤y≤4.两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒等价于|x-y|≤2.画图可知,所求概率P=1216=34.12.已知有一个三边长分别为3,4,5的三角形.求下面两只蚂蚁与三角形三顶点的距离均超过1的概率.(1)一只蚂蚁在三角形的边上爬行;(2)一只蚂...
