（江苏专用）高三数学一轮总复习 板块命题点专练（四）导数及其应用 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

板块命题点专练(四)导数及其应用1．(2015·陕西高考)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y＝－.答案：y＝－2．(2015·陕西高考)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x＞0)的导数为y′＝－(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．答案：(1,1)3．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：法一： y＝x＋lnx，∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)． y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由解得答案：84．(2015·四川高考)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m>0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n>0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．解析：对于①，由f(x)＝2x的单调性可知f(x)＝2x在其定义域上单调递增，则有m>0，故正确．对于②，由g(x)＝x2＋ax的单调性可知g(x)＝x2＋ax在其定义域上先减后增，则存在n<0的情形，故错误．对于③，由m＝n，得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)．令H(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，求导可得H′(x)＝2xln2－2x－a.令H′(x)＝0，得2xln2＝2x＋a.(*)1图(1)由图(1)易知，当a很小时，两图象无交点，故方程(*)无解，所以不一定存在x1，x2使得f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，故不正确．对于④，由m＝－n，得f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)．令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，求导可得F′(x)＝2xln2＋2x＋a，令F′(x)＝0，图(2)得2xln2＝－2x－a.(**)由图(2)易知，两图象必有交点，故方程(**)必有解，所以一定存在x1，x2使得f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，故正确．答案：①④5．(2015·重庆高考)设函数f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝＝.因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.(2)由(1)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.当x0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为.1.(2015·安徽高考)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)2①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b＞2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.解析：令f(x)＝x3＋ax＋b，则f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，④⑤正确；当a＜0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，需f(x)极大＜0或f(x)极小＞0，∴b＜－2或b＞2，①③正确，②不正确．答案：①③④⑤2．(2015·全国卷Ⅱ改编)设函数f′...