第4课时简单的逻辑联结词基础达标(水平一)1.给定两个命题p,q.若⌝p是q的必要不充分条件,则p是⌝q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】q⇒⌝p等价于p⇒⌝q,⌝p⇒/q等价于⌝q⇒/p,故p是⌝q的充分不必要条件.【答案】A2.给出命题p:3≥3;q:函数f(x)=在R上的值域为[-1,1].在下列三个命题:“p∧q”“p∨q”“⌝p”中,真命题的个数为().A.0B.1C.2D.3【解析】p为真命题.对于q,因为f(x)对应的函数值只有两个,即1或-1,所以f(x)的值域为{1,-1},所以q为假命题,所以p∧q为假,p∨q为真,⌝p为假.【答案】B3.在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题p∨q表示().A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米【解析】命题p∨q为“甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米”,所以p∨q表示甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米.故选D.【答案】D4.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∧p2,q2:p1∨p2,q3:(⌝p1)∨p2和q4:p1∧(⌝p2)中,真命题是().A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4【解析】显然命题p1为真命题.因为函数y=2x+2-x为偶函数,所以函数y=2x+2-x在R上不可能为减函数,即命题p2为假命题.所以⌝p1为假命题,⌝p2为真命题.根据复合命题的判断方法可确定选D.【答案】D5.已知p:若数列{an}的前n项和Sn=n2+m,则数列{an}是等差数列.当⌝p是假命题时,则实数m的值为.【解析】因为⌝p是假命题,所以p是真命题.由Sn=n2+m,得an=所以1+m=2×1-1,解得m=0.【答案】06.设命题p:已知函数f(x)=x2-mx+1,对一切x∈R有f(x)>0恒成立,命题q:关于x的不等式x2<9-m2有实数解,若“⌝p且q”为真命题,则实数m的取值范围为.1【解析】当命题p为真命题时,x2-mx+1>0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-4<0,即-2
0⇔-31;若q为真,则2∈{x|x24.(1)若“p∧q”为真,则a>1且a>4,即a>4.故实数a的取值范围是(4,+∞).(2)若“p∨q”为真,则a>1或a>4,即a>1.故实数a的取值范围是(1,+∞).拓展提升(水平二)8.已知命题p:对任意的x∈R,x2-2xsinθ+1≥0恒成立,命题q:对任意的α,β∈R,sin(α+β)≤sinα+sinβ恒成立.则下列命题中的真命题为().A.(⌝p)∧qB.p∧(⌝q)C.(⌝p)∨qD.(⌝p∨q)【解析】∵x2-2xsinθ+1=(x-sinθ)2+1-sin2θ=(x-sinθ)2+cos2θ≥0,∴p为真命题.∵当α=β=时,α+β=,sin(α+β)=1,sinα+sinβ=-,∴sin(α+β)>sinα+sinβ,∴q为假命题.∴p∧(⌝q)为真命题.故选B.【答案】B9.已知命题p:方程x2-2ax-1=0有两个实数根;命题q:函数f(x)=x+的最小值为4.给出下列命题:①p∧q;②p∨q;③p∧(⌝q);④(⌝p)∨(⌝q).其中真命题的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】因为Δ=(-2a)2-4×(-1)=4a2+4>0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x<0时,函数f(x)=x+的取值为负值,所以命题q为假命题.所以p∨q,p∧(⌝q),(⌝p)∨(⌝q)是真命题,故选C.【答案】C10.已知命题p:不等式x2+x+1≤0的解集为R,命题q:不等式≤0的解集为{x|10,所以命题p为假,⌝p为真.由≤0得2解得10对一切x∈R恒成立,命题q:函数f(x)=-(5-2a)x是减函数,若p∧q为假,p∨q为真,求实数a的取值范围.【解析】设g(x)=x2+2ax+4,因为关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,故Δ=4a2-16<0,解得-21,即a<2,所以命题q中a应满足a<2.又因为p∧q为假,p∨q为真,所以p和q必定一真一假.若p真q假,则此不等式组无解.若p假q真,则即a≤-2.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-2].3
