课时作业12定积分的概念知识点一定积分的概念1.设f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则f(x)dx等于()A.limf(ξi)B.limf(ξi)·C.limf(ξi)·ξiD.limf(ξi)·(ξi－ξi－1)答案B解析根据定积分的概念可知，B选项正确，其余均不等于f(x)dx，故选B.2．定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．不确定答案A解析由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[－2,2].知识点二定积分的几何意义3.若在区间[2,3]上，f(x)＞0恒成立，则f(x)dx()A．大于0B．小于0C．可能大于0，也可能小于0D．等于0答案A解析由定积分的几何意义，知f(x)dx为函数f(x)的图象与直线x＝2，x＝3，y＝0围成的图形的面积．又f(x)＞0在[2,3]上恒成立，故f(x)dx一定大于0.4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是()答案D解析定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方．对照各选项可知，D项中f(x)的图象不全在1g(x)的图象上方．故选D.知识点三定积分的性质5.设函数f(x)＝则f(x)dx＝()A.(3x2＋1)dxB.3xdxC.(3x2＋1)dx＋3xdxD.3xdx＋(3x2＋1)dx答案D解析因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与相应的解析式一致．由定积分的性质，可知选D.6．已知f(x)dx＝8，g(x)dx＝4，求下列定积分：(1)[f(x)＋g(x)]dx＝________；(2)[f(x)－g(x)]dx＝________；(3)3f(x)dx＝________.答案(1)12(2)4(3)24解析(1)[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx＝8＋4＝12.(2)[f(x)－g(x)]dx＝f(x)dx－g(x)dx＝8－4＝4.(3)3f(x)dx＝3f(x)dx＝3×8＝24.一、选择题1．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx＞0，则f(x)在[a，b]上恒正答案D解析对于A，f(－x)＝－f(x)，f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝－f(x)dx＋f(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)＞0时，f(x)dx＞0即C正确；但f(x)dx＞0，不一定有f(x)恒正，故选D.2．物体做变速直线运动的速度为v(t)，当t＝0时，物体所在的位置为s0，则在t＝1秒末时它所在的位置为()A.v(t)dtB．s0＋v(t)dtC．－v(t)dtD．s0－v(t)dt答案B解析由定积分的物理意义可知B正确．3．设f(x)＝则－1f(x)dx的值是()A.x2dxB.2xdxC.x2dx＋2xdxD.2xdx＋x2dx答案D解析因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致．利用定积分的性质可得正确答案为D.4．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形的面积S＝()2A.(x－x2)dxB.(x2－x)dxC.(y2－y)dyD.(y－)dy答案A解析画出曲线y＝x2与直线y＝x(如图所示)，由图象，得曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形的面积S＝(x－x2)dx.5．若|56x|dx≤2016，则正数a的最大值为()A．6B．56C．36D．2016答案A解析由|56x|dx＝56|x|dx≤2016，得|x|dx≤36，所以|x|dx＝2xdx＝a2≤36，即0＜a≤6.故正数a的最大值为6.二、填空题6．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．答案dx解析阴影部分由直线x＝－4，x＝2，y＝0和曲线y＝围成，所以由定积分的几何意义可知阴影部分的面积用定积分表示为dx.7．已知x2dx＝，x2dx＝，则(x2＋1)dx＝________.答案解析由定积分的性质，可得(x2＋1)dx＝x2dx＋1dx，而由已知，有x2dx＝x2dx＋x2dx＝＋＝，又由定积分的几何意义知1dx＝2，故＝＋2＝.8．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分f(x)dx，先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)，再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分f(x)dx的近似值为__________．3答案解析因为0≤f(x)≤1，且由定积分的定义知：f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴围成图形的面积．又产生的随机数对在如下图所示的正方形内，正方形的面积为1，且共有N个数对，即N个点．而满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有...
