第70练椭圆的定义与标准方程[基础保分练]1.(2018·南京模拟)已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为________.2.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为________.3.已知椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，O为坐标原点，则ON＝________.4.(2019·镇江模拟)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且F1F2＝2，若PF1与PF2的等差中项为F1F2，则椭圆C的标准方程为________________.5.在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，则△ABC的顶点C的轨迹方程为__________________.6.已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为________.7.设F1，F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为________.8.已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点.在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长为________.9.(2018·泰州模拟)已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且焦距为4，则m＝________.10.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则PA＋PB的最大值为________.[能力提升练]1.P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个动点，F为椭圆C的一个焦点，PF的最大值为5，最小值为1，则椭圆C的短轴长为________.2.已知P为椭圆＋y2＝1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1·PF2的最大值为________.3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中1点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为________.4.(2018·南通模拟)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则|PF1|·|PF2|的取值范围是________.5.已知椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点是(0,1)，若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2的面积为，则点P的坐标是______________.6.椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，直线BF与直线x＋y－3＝0垂直，垂足为M，且点B为线段MF的中点，则该椭圆方程为____________.答案精析基础保分练1.32.＋＝13.44.＋＝1或＋＝15.＋＝1(y≠0)6.87.解析椭圆＋＝1中，a＝3，b＝，c＝＝2，由椭圆的定义可得PF1＋PF2＝2a＝6，由中位线定理可得PF2⊥x轴，令x＝2，可得y＝±·＝±，即有PF2＝，PF1＝6－＝，则＝.8.69.1310.5解析因为椭圆方程为＋＝1，所以焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连结PB′，AB′，根据椭圆的定义，得PB＋PB′＝2a＝4，可得PB＝4－PB′，因为PA＋PB＝PA＋(4－PB′)＝4＋(PA－PB′).2因为PA－PB′≤AB′，所以PA＋PB≤4＋AB′＝4＋1＝5.当且仅当点P在AB′延长线上时，等号成立.综上所述，PA＋PB的最大值为5.能力提升练1.2解析F为椭圆C的一个焦点，所以PF的最大值为a＋c＝5，PF的最小值为a－c＝1，所以a＝3，c＝2，所以短轴长为2b＝2＝2.2.4解析由椭圆＋y2＝1，可得a＝2，P是椭圆上任意一点，F1，F2是椭圆的两焦点.由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，设PF1＝m，PF2＝n，即m＋n＝2a＝4，所以m＋n≥2，当且仅当m＝n时取等号.所以mn≤4，即PF1·PF2的最大值为4.故答案为4.3.＋＝1解析因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，c2＝9，所以b2＝9，a2＝18，即椭圆E的方程为＋＝1.4.[3,4]解析由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝4，且椭圆＋＝1的长轴长为4，焦距为2，所以1≤|PF1|≤3.令|PF1|＝t，则|PF2|＝4－t.令f(t)＝|PF1|·|PF2|＝t(4－t)＝－t2＋4t，t∈[1,3]，由二次函数的性质可知，函数f(t)在t＝2处取得最大值，即f(t)max＝f(2)＝－22＋4×2＝4，函数f(t)在t＝1或t＝3处取得最小值，3由于f(1)＝f(3)＝3，故f(t)min＝3，即|PF1|·|PF2|的取值范围是[3,4].5.(±，0)解析由题意知焦点在y轴上，所以a2＝3，b2＝m，由b2＝a2－c2＝2，得m＝2，由S＝F1F2×|xP|＝，得xP＝±，代入椭圆方程得yP＝0，故点P的坐标是(±，0).6.＋＝1解析设F(－c,0)，B(0，b)，因为直线BF与x＋y－3＝0垂直，得kBF＝＝1，即b＝c，又点B为线段MF的中点，由中点坐标公式可得M(b,2b)，代入直线x＋y－3＝0，可得b＝c＝，又a2＝b2＋c2，则a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，故答案为＋＝1.45
