高考数学总复习 第8章 立体几何初步 第5课时 空间几何体的表面积和体积课时训练（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第八章立体几何初步第5课时空间几何体的表面积和体积1.棱长为1的正三棱锥的全面积是________．答案：解析：因为四个面是全等的正三角形，则S表面积＝4S底面积＝4×＝.2.圆柱的底面半径为3cm，体积为18πcm3，则其侧面积为________cm2.答案：12π解析：V＝πr2l＝9πl＝18π，所以l＝2，故S侧面积＝2πrl＝12π.3.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案：解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连结顶点和底面中心即为高，可求高为，所以体积为V＝×1×1×＝.4.(2013·苏州调研)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则三棱锥AB1D1D的体积为________cm3.答案：3解析：VAB1D1D＝VB1AD1D＝VB1AA1D＝·S△AA1D·B1A1＝××2×3×3＝3.5.等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为________.答案：解析：等边圆柱的表面积为S1＝2πR·2R＋2·πR2＝6πR2，球的表面积S2＝4πR2，∴＝＝.6.(2013·课标Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．答案：24π解析：设正四棱锥的高为h，则×()2h＝，解得高h＝.则底面正方形的对角线长为×＝，所以OA＝＝，所以球的表面积为4π()2＝24π.7.(2013·江苏)如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D、E、F分别是AB、AC、AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．答案：1∶24解析：三棱锥FADE与三棱锥A1ABC的相似比为1∶2，故体积之比为1∶8.又因三棱锥A1ABC与三棱柱A1B1C1ABC的体积之比为1∶3.所以，三棱锥FADE与三棱柱A1B1C1ABC的体积之比为1∶24.8.圆锥母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线OA上有一点B，AB＝2cm，那么由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短矩离为__________cm.答案：2解析：设侧面展开扇形圆心角为n，底面周长＝3π，则＝3π，解得n＝90°，在展开扇形中，∠O＝90°，OB＝6－2＝4.Rt△AOB中，AB＝＝＝2.9.如图(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图(b)所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体DABC的体积．(1)证明：在图中，可得AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)解：由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VBACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.10.正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解：(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，则正棱锥侧面的斜高为＝.∴S侧＝3××2×＝9.∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2＝9＋6.(2)设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连结OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VPABC＝VOPAB＋VOPBC＋VOPAC＋VOABC＝S侧·r＋·S△ABC·r＝S表·r＝(3＋2)r.又VPABC＝×××(2)2×1＝2，∴(3＋2)r＝2，得r＝＝＝－2.∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.11.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面PAC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积.(1)证明：已知底面ABCD是直角梯形，∴AB∥DC.又AB平面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1.又AB＝2，∴BE＝1.在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝，则AC＝＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(3)解：∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半．∴VMACD＝S△ACD·＝××＝.