【成才之路】2015-2016学年高中数学4.1.2函数的极值练习北师大版选修1-1一、选择题1．(2014·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[答案]C[解析] x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒q，故选C.2．函数y＝x3－3x2－9x(－20；当x∈(－1,2)时，f′(x)<0.∴当x＝－1时，f(x)有极大值，且f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为()A．1，－3B．1,3C．－1,3D．－1，－3[答案]A[解析]因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0.①又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②由①②解得a＝1，b＝－3.4．设函数f(x)＝xlnx，则()A．x＝e为f(x)的极大值点B．x＝e为f(x)的极小值点C．x＝为f(x)的极大值点D．x＝为f(x)的极小值点[答案]D[解析]f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，得x>，令f′(x)<0，得x<，∴函数f(x)在(0，)上递减，在(，＋∞)上递增，∴当x＝时，f(x)取得极小值．15．下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，给出下列命题：①x＝－3是函数y＝f(x)的极值点；②x＝－1是函数y＝f(x)的最小值点；③曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．其中，正确命题的序号是()A．①②B．①④C．②③D．③④[答案]B[解析]f′(－3)＝0，且在x＝－3的两侧，导函数由负到正，所以x＝－3为f(x)的极小值点．当x∈(－3，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①④正确．6．(2014·湖北重点中学期中联考)设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则()A．a<－B．a>－1C．a<－1D．a>－[答案]C[解析]y′＝ex＋a，由题意知a<0. 函数有大于零的极值点x＝x0，∴ex0＋a＝0，且x0>0，∴a<－1，故选C.二、填空题7．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取得极小值时，x的值是________．[答案]－1[解析]f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0得－12，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得极小值．8．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．三、解答题29．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x的导函数为f′(x)，且f′(2)＝15.(1)求函数f(x)的图像在x＝0处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．[答案](1)y＝－9x(2)极大值27，极小值－5[解析](1) f′(x)＝3x2＋2ax－9， f′(2)＝15，∴12＋4a－9＝15，∴a＝3.∴f(x)＝x3＋3x2－9x，∴f′(x)＝3x2＋6x－9，∴f(0)＝0，f′(0)＝－9，∴函数在x＝0处的切线方程为y＝－9x.(2)令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)27－5即函数f(x)在(－∞，－3)上递增，在(－3,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴当x＝－3时，f(x)有极大值27，当x＝1时，f(x)有极小值－5.10．设y＝f(x)为三次函数，且图像关于原点对称，当x＝时，f(x)的极小值为－1，求函数f(x)的解析式．[答案]f(x)＝4x3－3x[解析]设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，因为其图像关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，得ax3＋bx2＋cx＋d＝ax3－bx2＋cx－d，∴b＝0，d＝0，即f(x)＝ax3＋cx.由f′(x)＝3ax2＋c，依题意，f′＝a＋c＝0，f＝a＋＝－1，解之，得a＝4，...
