学业分层测评(二十八)几个三角恒等式(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ；②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－cos4θcosθ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcosθ；⑤sinxsiny＝cos(x－y)－cos(x＋y)]．其中正确的等式有________．(填序号)【解析】只有⑤正确．【答案】⑤2．若A＋B＝120°，则sinA＋sinB的最大值是________．【解析】sinA＋sinB＝2sincos＝cos≤，∴最大值为.【答案】3．函数y＝sin＋sin的最大值是________．【解析】y＝2sinxcos＝sinx≤1，∴最大值为1.【答案】14．求的值为________．【解析】原式＝＝－＝－2cos30°＝－2×＝－.【答案】－5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cosβ－sinβcos(α＋β)＝－，则tan＝________.【导学号：06460083】【解析】易知sinα＝－，α为第三象限角，∴cosα＝－.∴tan＝＝＝＝＝－5.【答案】－56．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.【解析】cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos2α＋cos2β)＝(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β.∴cos2α－sin2β＝.【答案】7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.【解析】sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m.【答案】－m8．函数y＝sincosx的最小值是________．【解析】y＝sincosx＝sin2x－＋sin－＝＝sin－，1当sin＝－1时，y取得最小值为－.【答案】－二、解答题9．化简：(－π<α<0)．【解】原式＝＝＝＝.因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin<0，所以原式＝＝cosα.10．求函数f(x)＝sinx的最小正周期与最值．【解】f(x)＝sinx＝sinx·2cossin＝－sinxcos＝－＝－sin＋.∴最小正周期为T＝＝π.∵sin∈－1,1]，∴f(x)max＝，f(x)min＝－.能力提升]1．sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值是________．【解析】原式＝＋＋(sin100°－sin60°)＝1－(cos40°＋cos20°)＋cos10°－＝1－cos30°cos10°＋cos10°－＝.【答案】2．直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB的最大值为________．【解析】∵A＋B＝，sinAsinB＝cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)，又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，∴sinAsinB有最大值.【答案】3．若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝________.【解析】∵α是第三象限角，∴为第二、四象限角，∴tan＜0，∴tan＝－＝－＝－3，∴原式＝＝－.【答案】－4．如图331，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．2图331【解】在直角三角形OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.在直角三角形OAD中，＝tan60°＝.∴OA＝DA＝sinα，∴AB＝OB－OA＝cosα－sinα.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝sinα＝sinαcosα－sin2α＝sin2α－(1－cos2α)＝sin2α＋cos2α－＝－＝sin－.∵0<α<，∴当2α＋＝，即α＝时，取最大值.∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.3
