§8.5空间向量及其在立体几何中的应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一用向量法证明平行、垂直1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.(1)求证:AF∥平面PEC;(2)求证:平面PEC⊥平面PCD.证明 PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,∴PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊥AD,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,由已知PA=AD,不妨设PA=AB=AD=2,则B(2,0,0),P(0,0,2),A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).(1) F为PD的中点,E为AB的中点,∴F(0,1,1),E(1,0,0),∴⃗PE=(1,0,-2),⃗PC=(2,2,-2).设平面PEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则{n1·⃗PE=0,n1·⃗PC=0,即{x1-2z1=0,2x1+2y1-2z1=0,取z1=1,则n1=(2,-1,1),又 ⃗AF=(0,1,1),∴⃗AF·n1=0-1+1=0,∴⃗AF⊥n1,∴AF∥平面PEC.(2)⃗PC=(2,2,-2),⃗PD=(0,2,-2).设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则{n2·⃗PC=0,n2·⃗PD=0,∴{2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,即{x2+y2-z2=0,y2-z2=0,取z2=1,则n2=(0,1,1),又 n1=(2,-1,1)是平面PEC的一个法向量,∴n1·n2=(2,-1,1)·(0,1,1)=0,∴n1⊥n2,∴平面PEC⊥平面PCD.2.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为37,求四面体ADPQ的体积.1解析由题设知,AA1,AB,AD两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.(1)证明:因为P是DD1的中点,所以P(0,92,3),所以⃗PQ=(6,m-92,-3).又⃗AB1=(3,0,6),于是⃗AB1·⃗PQ=18-18=0,所以⃗AB1⊥⃗PQ,即AB1⊥PQ.(2)由题设知,⃗DQ=(6,m-6,0),⃗DD1=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.设n1=(x,y,z)是平面PQD的法向量,则{n1·⃗DQ=0,n1·⃗DD1=0,即{6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以cos=n1·n2|n1|·|n2|=31×√(6-m)2+62+32=3√(6-m)2+45.而二面角P-QD-A的余弦值为37,因此3√(6-m)2+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此时Q(6,4,0).设⃗DP=λ⃗DD1(0<λ≤1),而⃗DD1=(0,-3,6),由此得点P(0,6-3λ,6λ),所以⃗PQ=(6,3λ-2,-6λ).因为PQ∥平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一个法向量是n3=(0,1,0),所以⃗PQ·n3=0,即3λ-2=0,亦即λ=23,从而P(0,4,4).于是,将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ,则其高h=4.故四面体ADPQ的体积V=13S△ADQ·h=13×12×6×6×4=24.考点二用向量法求空间角与距离3.在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值;(3)在(2)的条件下,求点D到平面BMC的距离.2解析(1)证明: 平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(1)知AB⊥平面BCD,又BE⊂平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐标原点,分别以⃗BE,⃗BD,⃗BA的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M(0,12,12),则⃗BC=(1,1,0),⃗BM=(0,12,12),⃗AD=(0,1,-1).设平面MBC的法向量为n=(x0,y0,z0),则{n·⃗BC=0,n·⃗BM=0,即{x0+y0=0,12y0+12z0=0,取z0=1,得平面MBC的一个法向量为n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,则sinθ=|cos|=|n·⃗AD||n|·|⃗AD|=√63,即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为√63.(3)由(2)可知平面MBC的一个法向量为n=(1,-1,1),又 ⃗BD=(0,1,0),∴点D到平面BMC的距离为|⃗BD·n||n|=1√3=√33.4.如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(1)求证:AO⊥BE;(2)求二面角F-AE-B的余弦值;(3)若BE⊥平面AOC,求a的值;(4)在(3)的条件下,求BE与AF所成角的余弦值.解析(1)证明:因为△AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,所...
