2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义A级基础巩固一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为()A.B.C．3D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为()A.B.C.D.解析：|a－b|＝＝＝，设向量a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.答案：C二、填空题6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|＝________．解析：因为|a|·cos120°＝－2，所以|a|·＝－2，所以|a|＝4.答案：47．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数1m＝________．解析：因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝|a||b|cos60°＝，所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.答案：－8或58．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．解析：因为(3a＋2b)⊥(λa－b)所以(λa－b)·(3a＋2b)＝0，所以3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又因为|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，所以12λ＋(2λ－3)×2×1×cos90°－2＝0，所以12λ－2＝0，所以λ＝.答案：三、解答题9．已知|a|＝1，|b|＝，(1)若a∥b且同向，求a·b；(2)若向量a·b的夹角为135°，求|a＋b|.解：(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°，此时a·b＝|a||b|＝.(2)|a＋b|＝＝＝＝1.10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b＋b2＝5.因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，所以9－6a·b＋1＝5.所以a·b＝.所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.所以|a＋3b|＝.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝.所以cosθ＝＝＝.因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝＝＝.所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.B级能力提升1．点O是△ABC所在平面上一点，且满足OA·OB＝OB·OC＝OA·OC，则点O是△ABC的()A．重心B．垂心2C．内心D．外心解析：因为OA·OB＝OB·OC，所以OB·(OA－OC)＝0，即OB·CA＝0,则OB⊥CA.同理OA⊥BC，OC⊥AB.所以O是△ABC的垂心．答案：B2．如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB＝________．解析：CM·CB＝·CB＝AB·CB＝(CB－CA)·CB＝CB2＝4.答案：43．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP＝2PD.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP·BP的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP·BP＝6，求AB与AD夹角的余弦值．解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD·DC＝0.由CP＝2PD，得DP＝DC，CP＝CD＝－DC.所以AP·BP＝(AD＋DP)·(BC＋CP)＝·＝AD2－AD·DC－DC2＝36－×81＝18.(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB，所以AP·BP＝·＝AD2－AB·AD－AB2＝36－AB·AD－18＝18－AB·AD.又AP·BP＝6，所以18－AB·AD＝6，所以AB·AD＝36.又AB·AD＝|AB|·|AD|cosθ＝9×6×cosθ＝54cosθ，所以54cosθ＝36，即cosθ＝.所以AB与AD夹角的余弦值为.3
