高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式-人教版高二全册数学试题VIP免费

第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P12～14，思考并完成下列问题(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数公式？(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？1．几种常用函数的导数函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－f(x)＝f′(x)＝[点睛]对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1原函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝，则y′＝×2＝1.()(2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx．()(3)f(x)＝，则f′(x)＝－.()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列结论不正确的是()A．若y＝0，则y′＝0B．若y＝5x，则y′＝5C．若y＝x－1，则y′＝－x－2D．若y＝x，则y′＝x1答案：D3．若y＝cos，则y′＝()A．－B．－C．0D.答案：C4．函数y＝在点处切线的倾斜角为()A.B.C.D.答案：B利用导数公式求函数导数[典例]求下列函数的导数．(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[解](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x25.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝.求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y＝lgx；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝logx.解：(1)y′＝(lgx)′＝′＝.(2)y′＝′＝xln＝－xln2.(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝.(4)y′＝′＝＝－.利用导数公式求切线方程[典例]已知曲线y＝.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．[解] y＝，∴y′＝－.(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.2所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，则可设过该点的切线的切点为A，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－.则切线方程为y－＝－(x－a)．①将Q(1,0)代入方程：0－＝－(1－a)．将得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[活学活用]当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．解：设切点为A(x0，x＋k)． y′＝2x，∴∴故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为.导数的简单综合应用[典例](1)质点的运动方程是S＝sint，则质点在t＝时的速度为________；质点运动的加速度为________．(2)已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析](1)v(t)＝S′(t)＝cost，∴v＝cos＝.即质点在t＝时的速度为. v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.答案：－sint(2)解：由于y＝sinx，y＝cosx，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建...