第59课圆的综合问题(本课对应学生用书第132-134页)自主学习回归教材1.圆的方程:以点C(a,b)为圆心、r为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充分条件是D2+E2-4F>0,此圆的圆心为-,-22DE,半径为221-42DEF.2.点与圆:(1)点在圆外:有两条切线,点与圆上的点的距离的最大值、最小值的求法.(2)点在圆上:只有一条切线,圆心与切点的连线垂直于切线.(3)点在圆内:没有切线,点与圆上的点的距离的最大值、最小值的求法.3.直线与圆:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r;将直线方程代入圆的方程得到关于x或者y的二元一次方程,其判别式为Δ.(1)相离:几何法:d>r;代数法:Δ<0.(2)相切:几何法:d=r;代数法:Δ=0.圆的切线方程的求法.(3)相交:几何法:d0.弦长为222-rd,经过直线ax+by+c=0与圆交点的圆的方程——圆系:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(ax+by+c)=0.4.圆与圆:两圆Ci:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)的圆心距为d,两个圆的半径分别为R,r.(1)外离:4条公切线,两圆上两点间的距离的最大值为d+R+r,最小值为d-R-r.(2)外切:3条公切线,过切点的公切线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.(3)相交:公切线2条,公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,公共弦长为221-RC圆心到公共弦所在直线的距离的平方.(4)内切:1条公切线.(5)内含:无公切线.1.(必修2P115复习题11改编)圆x2+y2-6x-8y=0被直线4x+3y-9=0截得的弦长为.1[答案]8[解析]圆心(3,4)到直线4x+3y-9=0的距离是d=|4334-9|5=3,所以直线被圆截得的弦长是222-Rd=-8.2.(必修2P102例2改编)经过点A(3,2)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线的方程为.[答案]x-3=0或y-2=0[解析]设所求切线的方程为m(x-3)+n(y-2)=0,即mx+ny-3m-2n=0,其中m,n不同时为0,则22|23-3-2|mnmnmn=1,解得m=0或n=0.当m=0时,切线为y-2=0,当n=0时,切线为x-3=0.3.(必修2P100习题9改编)已知圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0与圆C2:x2+y2+ax+by+c=0关于直线x-y+3=0对称,那么a=b=.[答案]16-8[解析]因为两个圆关于直线x-y+3=0对称,所以C1:x2+y2-2x+10y-24=0的圆心(1,-5)关于直线x-y+3=0的对称点(-8,4)为C2:x2+y2+ax+by+c=0的圆心,所以-2a=-8,-2b=4,所以a=16,b=-8.4.(必修2P128练习3改编)直线(x+1)a+(y+1)b=0与圆x2+y2=2的位置关系是.[答案]相切或相交[解析]无论a,b取何实数,直线恒过点(-1,-1),又知点(-1,-1)在圆上,则直线恒过圆上一点,从而直线与圆相交或相切.5.(必修2P132习题改编)以N(1,-1)为圆心,并且与直线3x-4y+3=0相切的圆的标准方程是.[答案](x-1)2+(y+1)2=4[解析]由题意知圆N的半径r=22|3-4(-1)3|34=2,所以圆N的标准方程是(x-1)2+(y+1)2=4.2
