第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题A级基础巩固一、选择题1．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44解析：Δy＝(2＋0.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.答案：B2．在求函数的平均变化率时，自变量的增量Δx应满足条件()A．Δx>0B．Δx<0C．Δx＝0D．Δx≠0解析：Δx是指函数的自变量在某一点处的变化量，可以是增大量，也可以是减小量，但不能为0，故选D.答案：D3．一运动物体的运动路程s(t)与时间x的函数关系为s(t)＝－t2＋2t，则s(t)从2到2＋Δt的平均速度为()A．2－ΔtB．－2－ΔtC．2＋ΔtD．(Δt)2－2Δt解析：因为s(2)＝－22＋2×2＝0，所以s(2＋Δt)＝－(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＝－2Δt－(Δt)2，所以＝－2－Δt.答案：B4.函数f(x)＝x，g(x)＝x2在[0，1]上的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是()A．m1＝m2B．m1>m2C．m2>m1D．m1，m2的大小无法确定解析：m1＝＝f(1)－f(0)＝1－0＝1，m2＝＝g(1)－g(0)＝12－0＝1，故m1＝m2.答案：A5．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则()A．两机关节能效果一样好B．A机关比B机关节能效果好C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率1大D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大解析：由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且两机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故A机关比B机关节能效果好．答案：B二、填空题6．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．解析：＝＝－＝－.答案：－7．2019年4月5日，某地上午9：20的气温为23.4℃，下午1：30的气温为15.9℃，则在这段时间内气温的平均变化率为__________℃/min.解析：从上午9：20到下午1：30，共250min，这段时间内气温的变化量为15.9－23.4＝－7.5(℃)(即气温下降7.5℃)，所以在这段时间内气温的平均变化率为＝－0.03(℃/min)．答案：－0.038.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．答案：[x3，x4]三、解答题9．已知一次函数f(x)在区间[－2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点(0，2)，试求该一次函数的表达式．解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．因为函数f(x)的图象过点(0，2)，所以b＝2，即f(x)＝kx＋2.因为＝＝2，即＝2，解得k＝2，所以该一次函数的表达式为f(x)＝2x＋2.10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．解：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：＝＝＝＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．B级能力提升1．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平2均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.所以k3＞k2＞k1＞k4.答案：B2．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数表达式为h(t)＝2t2＋2t，则下列说法正确的是________(填序号)．①前3s内球滚下的垂直距离的增量Δh＝24m；②在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh＝12m；③前3s内球的平均速度为8m/s；④在时间[2，3]内球的平均速度为12m/s.解析：前3s内，Δt＝3s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，此时平均速率为＝＝8(m/s)，故①③正确；在时间[2，3]内，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，故平均速度为＝12(m/s)，所以②④正确．综上，①②③④都正确．答案：①②③④3．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)当x1＝4，且Δx＝1时，求函数增量Δy和平均变化率；(2)当x1...
