点到直线的距离前一节课我们判断了以A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)为顶点的四边形ABCD是平行四边形，它的面积是多少呢？问题情境OABCDE数学建构点到直线的距离点P(x0，y0)是平面上任意一点，直线l是平面上任意一直线，(1)直线l平行于x轴，记直线l的方程为y＝b则点P到直线l的距离为(2)直线l平行于y轴，记直线l的方程为x＝a，则点P到直线l的距离为(3)直线l与x轴、y轴都相交题型1点到直线的距离[典例1]求点P0(－1，2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.．练习一(1)若点(a，2)到直线3x－4y－2＝0的距离等于4，则a的值为______．(2)若点(4，0)到直线4x－3y＋a＝0的距离为3，则a的值为________．(3)点P是直线4x－3y－6＝0任意一点，则点P到直线4x－3y＋9＝0的距离为________．题型2两平行直线的距离[典例2]求平行线2x－7y＋8＝0和2x－7y－6＝0的距离．练习二(1)与两条平行直线2x＋y＋1＝0和2x＋y＋5＝0的距离相等的点的轨迹方程为__________．(2)两点A(1，0)，B(3，4)到直线l的距离均等于1，则直线l的方程为___．(3)求与直线3x－4y＋8＝0平行且距离为2的直线方程．(4)若直线l1过点A(5，0)，直线l2过点B(0，1)，且l1//l2，l1和l2间的距离为5，求l1，l2的直线方程．题型3距离公式的综合应用[典例3]已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．解：(1)法一：联立2x＋y－5＝0，x－2y＝0⇒交点P(2，1)，当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以|5k＋1－2k|k2＋（－1）2＝3，解得k＝43，所以l的方程为y－1＝43(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，故所求l方程为4x－3y－5＝0或x＝2.法二：设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以|5（2＋λ）－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或12，所以l方程为4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由2x＋y－5＝0，x－2y＝0，解得交点P(2，1)，如图所示，过点P任意作直线l，设d为A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)，所以dmax＝PA＝（5－2）2＋（0－1）2＝10.练习三已知点A(2，－1)．(1)求过点A且与原点O距离为2的直线l的方程；(2)求过点A且与原点O距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解：(1)当斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时，原点O到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，可设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由已知得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.综上可知，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)过点A且与原点O距离最大的直线是过点A且与AO垂直的直线，由l⊥AO，得klkOA＝－1，所以kl＝－1kOA＝2，所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，最大距离OA＝（2－0）2＋（－1－0）2＝5，所以直线2x－y－5＝0是过点A且与原点O距离最大的直线l的方程，最大距离为5.总结1．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为_____________________．2．我们定义“夹在两条平行线间的公垂线段的长度称为两条平行线间的距离”．若两条平行线分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则它们之间的距离为_________________．d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2d＝|C2－C1|A2＋B2
