双曲线中的斜率和（积）问题例1.（2022新高考1卷）已知点A(2,1)在双曲线C:x22-=1(a>1)上，直线l交C于P，aa-1Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．求l的斜率.（2）若tan经PAQ=22，求ΔPAQ的面积.解法1：（设点解点）设直线AP的方程为y=k(x-2)+1，与双曲线C的方程-y=12联立，消去y得到(1-2k2)x2+4k(2k-1)x-8k2+8k-4=0，根据韦达定理，得xAxP=-8k2+8k-41-2k2,故xP=4k2-4k+22k2-1,从而yP=k(xP-2)+1=2k2-4k+1x21-2k2因为直线AP、AQ的斜率之和为0，所以直线AQ的方程为y=-k(x-2)+1，同理，可得：xQ=4k2+4k+22k2-1,yQ=2k2+4k+11-2k22k2-4k+1-2k2+4k+1所以直线l的斜率为yxPP--yxQQ=4k12--24kk2+2-4k1224k+2=-12k2-12k2-1解法2：设P(x1,y1),Q(x2,y2)，由点P,Q,A都在双曲线C上，得y1=1,-y2=1，22y1-1x1+2x1-22(y1+1)即kPA=-kQA，所以，1=1，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：2y2-1x2+2x2-22(y2+1)由y1-1=-x2+2得2(y1y2+y1-y2-1)=-(x1x2+2x1-2x2-4).②由y2-1=x1+2得2(y1y2+y2-y1-1)=-(x1x2+2x2-2x1-4).③由②-③,得y1-y2=x2-x1，从而kPQ=x-x=-1，即l的斜率为-1.kQA==.因为直线AP、AQ的斜率之和为kPA==x21-2x22x1-22(y2x2-22(y122-y1-1..解法3：（设而不求）将点A代入双曲线方程得-2-2=1，化简得a4-4a2+4=0，aa-1:a2=2，故双曲线方程为x2-y2=1，由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1，2y1)Q(x2，y2)，则联立双曲线得：(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0，故x1+x2=-，2k-12m2+2y1-1y2-1kx1+m-1kx2+m-1x1x2=，kAP+kAQ=+=+=0，化简得：2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0，故2k(2m2+2)+(m-1-2k)(-4km)-4(m-1)=0，2k2-12k2-1即(k+1)(m+2k-1)=0，当m+2k-1=0时，直线l:y=k(x-2)+1过点A，不合题意，舍去.,故k=-1.方法4.（同构双斜率）设过点A的直线方程为y=k(x-2)+1，直线l的方程为y=k0x+m，联立解得xP=m+2k-1,yP=2kk0-k0+mk，代入双曲线C的方程x2-y2=1中，整理得[4-2(2k0+m)2-2]k2+4[(m-1)+k0(2k0+m)+k0]k+[(m-1)2-4k20]=0，这是关于k的一元二次方程，方程的两根k1、k2分别为直线AP、AQ的斜率.因为直线AP、AQ的斜率之和为0，即k1+k2=0，所以(m-1)+k0(2k0+m)+k0=0，整理后分解得(k0+1)(2k0+m-1)=0.因为直线l不经过点A，所以2k0+m子1，从而k0=-1，即l的斜率为-1.方法5（齐次化联立）双曲线方程为x2-y2=1，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，2 AP,AQ的斜率之和为0，∴k1+k2=故将双曲线方程为-y2=1变形为：2且设直线l:m(x-2)+n(y-1)=1，2k2-1x1-2x2-2x1-2x24xk-k0k-k0—y1-1+y2-1=0，x1-2x2-2(x-2+2)2-2(y-1+1)2=1(*)，由(*)式有：(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-(y-1)=0常(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-(y-1)根m(x-2)+n(y-1)=0常(4m+1)(x-2)2-(4n+2)(y-1)2-(4m-4n)(x-2)(y-1)=0常(4n+2)(y-1)22+(4m-4n)y-1-(4m+1)=0,（两边同除以(x-2)2），即(4n+2)k2+(4m-4n)k-(4m+1)=0，而k1,k2是此方程的两根.∴k1+k2==0常m=n，故直线l斜率为−1.4n+2方法6：（曲线系）点A处的切线方程为x-y-1=0，设直线AP的方程为y-1=k1(x-2)，AQ的方程为y-1=k2(x-2)，PQ的方程y=kx+b，则过这四条直线交点的二次曲线方程为(kx-y-b)(x-y-1)+λ[k1(x-1)-y+1].[k2(x-1)-y+1]=0.又因为双曲线过这些交点，比较xy的系数得-k-1+λ(-k1-k2)=0.又由k1+k2=0，所以k=-1.4n-(x-2)x-这样的话，本文就展示了这道题目的6种解法，其实无所谓好坏之分，都是很好的方法，都体现了对运算对象和运算规则较为精准的把握.但是，在考场时间如此紧张的条件下，又快又准的解题却是关键，方法1,3为通法，是多数考生的选择，这样的方法就是套路感强，我们练习的最多，但是过多的沉迷于这些方法会让我们对解析几何的理解就定位在“暴力运算”，我觉得，如果时间允许，去探寻思考方法2和方法4也是不错的选择.方法5,6就是所谓的“秒杀神技”，但是我个人觉得这两个方法还是有风险的，因为它们技巧性很强，可能对很多学生而言都很难想清楚这个平移坐标系究竟是个什么“梗”，这两个方法很多人都可能学个“四不像”，徒劳无功！所以，对解析几何运算的核心还在于去思考，理解运算对象，这个板块的特点就是翻译：几何问题代数化，代数问题坐标化，不同的理解就会有不同的处理思路，我们要基于常见的...
