【成才之路】2016年春高中数学第2章解三角形3解三角形的实际应用举例第1课时距离和高度问题同步练习北师大版必修5一、选择题1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()A．10海里B．10海里C．5海里D．5海里[答案]D[解析]如图，由正弦定理得＝，∴BC＝5.2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为()A．12mB．8mC．3mD．4m[答案]D[解析]在△ABC中，已知可得BC＝AC＝4，∠C＝180°－30°×2＝120°所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝42＋42－2×4×4×＝48∴AB＝4(m)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(30＋30)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋15)m[答案]A[解析](1)由正弦定理可得＝，PB＝＝.h＝PB·sin45°＝·sin45°＝(30＋30)(m)．4．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()A.kmB.kmC.kmD.km[答案]B1[解析]由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝km.5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a(km)B.a(km)C.a(km)D．2a(km)[答案]B[解析]在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°. AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2×(－)＝3a2，∴AB＝a(km)．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为()A.米B.米C.米D.米[答案]A[解析]解法一：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°，∴BC＝200tan30°＝，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝.∴CD＝AB－AM＝.解法二：如图AB为山高，CD为塔高．在△ABC中，AC＝＝，在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝120°.由正弦定理＝.∴CD＝＝(米)．二、填空题7．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.(精确到0.1km)[答案]4.2[解析]作出示意图如图．由题意知，2AB＝24×＝6，∠ASB＝45°，由正弦定理得，＝，可得BS＝＝3≈4.2(km)．8．(2016·泰安市高三期中考试)如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为________．[答案]50m[解析]因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，根据正弦定理可知：＝，即＝，解得AB＝50m.三、解答题9．海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度．[解析]如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝10，∠ABC＝120°由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos120°即700＝100＋BC2＋10BC，∴BC＝20，设B船速度为v，则有v＝＝15(海里/小时)．即B船的速度为15海里/小时．10．在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)．[解析]由题意画出示意图(AA′表示小明的身高)． AB＝200，∠CA′B′＝45°，∠CB′D′＝60°，3∴在△A′B′C中，＝∴B′C＝＝＝200(＋1)．在Rt△CD′B′中，CD′＝B′C·sin60°＝100(3＋)，∴CD＝1.8＋100(3＋)≈475(米)．答：红灯笼高约475米.一、选择题1．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度...
