学业分层测评(十一)抛物线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________.【解析】由定义知PO＝PF，所以xP＝，yP＝±＝±.【答案】2.抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于______.【解析】由消y得ax2－x＋1＝0. 直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根.∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.【答案】3.(2016·济南高二检测)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.【解析】 y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)，又 AF＝2，∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，∴xA＝1.即AB⊥x轴，F为AB的中点，∴BF＝AF＝2.【答案】24.边长为1的等边三角形OAB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为________.【解析】由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，且A为x轴上方的点，则易求A，所以＝p，所以p＝，所以抛物线方程为y2＝x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2＝－x.【答案】y2＝±x5.设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则OA·OB的值是________.【导学号：24830051】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知p＝1，则OA·OB＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－.【答案】－6.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________.【解析】抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，∴＝＝1，∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.【答案】y＝x7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反光镜顶点的距离是________.【解析】建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是y2＝2px(p>0). A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625(cm).1【答案】5.625cm8.设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.【解析】圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要FM>4即可.根据抛物线定义，FM＝y0＋2.由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞).【答案】(2，＋∞)二、解答题9.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，求此抛物线的方程.【导学号：24830052】【解】如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，则OB边的方程为y＝－x.由得A点坐标为.由得B点坐标为(8p，－4p). AB＝5，∴＝5. p>0，解得p＝，∴所求抛物线方程为y2＝x.10.一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值.【解】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示.则点B的坐标为，设隧道所在抛物线方程为x2＝my(m≠0)，则2＝m·，∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－.欲使卡车通过隧道，应有y－>3，即－>3.解得a>12.21或a<－0.21(舍去).∴使卡车通过的a的最小整数值为13.能力提升]1.已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是________.【解析】 抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则OA＝，AF＝，由OA·AF＝－4，得y0＝±2，∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2).【答案】(1,2)或(1，－2)2.(2016·苏州高二检测)过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则＋＝________.【解析】由焦点弦性质知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a>0)，∴2p＝，p＝，∴＋＝4a，即＋＝4a.【答案】4a23.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为________.【解析】不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F...
