第二节排列与组合课时作业练1.(2018江苏海安高级中学期中)利用排列数公式证明:1n+1An+1m+1=1n-mAnm+1.证明左边=1n+1An+1m+1=1n+1×(n+1)!(n-m)!=n!(n-m)!=Anm,右边=1n-mAnm+1=1n-m×n!(n-m-1)!=n!(n-m)!=Anm,所以原命题得证.2.(2019江苏无锡高三模拟)平面内有9个点,其中有4个点共线,其余任何3点不共线,问:(1)过任意两点作一条直线,这样的直线有多少条?(2)能确定多少条射线?(3)能确定多少个不同的圆?解析(1)共线中的4点任取两点构成同一直线,有1条;在共线的4点中任取1点,从共线之外的5个点中任选1个点,可构成4×5=20条;在共线的4点中不取,从共线之外的5个点中任选2个点,可构成C52=10条,故一共有1+20+10=31条.(2)任取两点都有2条射线,所以共有A92=72条射线.(3)从共线之外的5个点中任选3个,故有C53=10个圆,从共线的4点中任选1个,从共线之外的5个点中任选2个,故有C41C52=40个圆,从共线的4点中选2个,从共线之外的5个点中任选1个,故有C42C51=30个圆,故能确定10+40+30=80个圆.13.(2019南京、盐城高三模拟)已知n∈N*,且n≥4,数列T:a1,a2,…,an中的每一项均在集合M={1,2,…,n}中,且任意两项不相等.(1)若n=7,且a2
ak+1,求所有符合条件的数列T的个数.解析(1)当n=7时,M={1,2,…,7}.则数列T的个数为C72×C22=42.(2)当k=1时,则a1>a2,a2ak+1,ak+1an,此时an-1为n,an共有n-1种选法,余下的n-2个数按从小到大依次排列,共有1种,因此k=n-1时,符合条件的数列T共有n-1=Cnn-1-1个.于是所有符合条件的数列T的个数为Cn1-1+Cnk-1+…+Cnn-1-1=Cn1+…+Cnk+…+Cnn-1-n+1=2n-Cn0-Cnn-n+1=2n-n-1.24.(2018江苏,23,10分)设n∈N*,对1,2,…,n的一个排列i1i2…in,如果当sit,那么称(is,it)是排列i1i2…in的一个逆序,排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为逆序数,例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序,即(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1,2,…,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.(1)求f3(2),f4(2)的值;(2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示).解析(1)记τ(abc)为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有τ(123)=0,τ(132)=1,τ(213)=1,τ(231)=2,τ(312)=2,τ(321)=3,所以f3(0)=1,f3(1)=f3(2)=2.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5.(2)对一般的n(n≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以fn(0)=1.逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻的两个数字调换位置得到的排列,所以fn(1)=n-1.为计算fn+1(2),当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n.当n≥5时,fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)=(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22.因此,当n≥5时,fn(2)=n2-n-22.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.设a,b∈R,a+bi=11-7i1-2i(i为虚数单位),则a+b的值为.答案8解析因为a+bi=11-7i1-2i=(11-7i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=5+3i,所以a=5,b=3,a+b=8.32.下图是一个算法流程图,则输出的n的值是.答案5解析该流程图共运行5次,各次2n的值分别是2、4、8、16、32,所以输出的n=5.3.(2018江苏高考信息预测)若半径为3√36π的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等,则长方体的表面积为.答案88解析由题意知球的体积为43πr3=43π·36π=48,则长方体的高为48÷6÷4=2,故长方体的表面积为2×(6×4+4×2+6×2)=88.4.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的渐近...
