1.2余弦定理课后篇巩固探究A组1.在△ABC中,已知a=2,b=3,cosC=13,则边c长为()A.2B.3C.√11D.√17解析:因为c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×13=9,所以c=3.答案:B2.在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形解析:因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,所以c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,所以a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选C.答案:C3.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-√3ab,则△ABC的最大内角为()A.60°B.90°C.120°D.150°解析:由已知得,c2=a2+b2+√3ab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由cosC=a2+b2-c22ab=-√32,得C=150°,故选D.答案:D4.在△ABC中,若a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的直径为()A.4√3B.6C.5√2D.6√2解析:因为S△ABC=12acsinB=12·c·sin45°=√24c=2,所以c=4√2.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4√2×√22=25,所以b=5.所以△ABC外接圆直径2R=bsinB=5√2.答案:C5.已知在△ABC中,a比b大2,b比c大2,最大角的正弦值是√32,则△ABC的面积是()1A.15√34B.154C.21√34D.35√34解析:因为a=b+2,b=c+2,所以a=c+4,A为最大角,所以sinA=√32.又A>B>C,所以A=120°,所以cosA=-12,即b2+c2-a22bc=-12,所以(c+2)2+c2-(c+4)2=-c(c+2),解得c=3.所以a=7,b=5,c=3,A=120°.S△ABC=12bcsinA=12×5×3×√32=15√34.答案:A6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,b=4,cosB=14,则c=.解析:因为cosB=14,由余弦定理得42=a2+(2a)2-2a×2a×14,解得a=2,所以c=4.答案:47.设△ABC的内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sinA的值为.解析:由已知得b2+c2-a2=4√23bc,于是cosA=4√23bc2bc=2√23,从而sinA=√1-cos2A=13.答案:138.已知在△ABC中,AB=7,BC=5,CA=6,则⃗BA·⃗BC=.解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB,则⃗BA·⃗BC=ca·cosB=ca·a2+c2-b22ac=12(a2+c2-b2)=12(52+72-62)=19.答案:199.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解(1)由b2=a2+c2-2accosB,2得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又b=2,a+c=6,cosB=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sinB=√1-cos2B=4√29,由正弦定理得sinA=asinBb=2√23.因为a=c,所以A为锐角,所以cosA=√1-sin2A=13.因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=10√227.10.导学号33194039已知在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量p=(sinA-cosA,1-sinA),q=(2+2sinA,sinA+cosA),p与q是共线向量,且π6≤A≤π2.(1)求角A的大小;(2)若sinC=2sinB,且a=√3,试判断△ABC的形状,并说明理由.解(1)因为p∥q,所以(sinA-cosA)(sinA+cosA)-2(1-sinA)(1+sinA)=-cos2A-2cos2A=0,所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-12.因为π6≤A≤π2,所以π3≤2A≤π,所以2A=2π3,所以A=π3.(2)△ABC是直角三角形.理由如下:由cosA=12,a=√3及余弦定理得b2+c2-bc=3.又sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b.联立可得{b2+c2-bc=3,c=2b,解得{b=1,c=2,所以a2+b2=(√3)2+12=4=c2,所以△ABC是直角三角形.B组1.在△ABC中,若△ABC的面积S=14(a2+b2-c2),则C=()A.π4B.π6C.π3D.π2解析:由S=14(a2+b2-c2),得12absinC=14×2abcosC,3所以tanC=1,又C∈(0,π),所以C=π4.答案:A2.在△ABC中,若sinA-sinA·cosC=cosAsinC,则△ABC的形状是()A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:由正弦定理、余弦定理,知sinA-sinAcosC=cosAsinC可化为a(1-a2+b2-c22ab)=b2+c2-a22bc·c,整理,得a=b,所以△ABC是等腰三角形,选B.答案:B3.已知△ABC各角的对边分别为a,b,c,满足ba+c+ca+b≥1,则角A的范围是()A.(0,π3]B.(0,π6]C.[π3,π)D.[π6,π)解析:将不等式ba+c+ca+b≥1两边同乘以(a+c)(a+b)整理得,b2+c2-a2≥bc,所以cosA=b2+c2-a22bc≥bc2bc=12,所以0
