【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十三章选考部分第2讲矩阵与变换练习理1.(2014·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，向量α＝，x，y为实数.若Aα＝Bα，求x＋y的值.解由已知，得Aα＝＝)，Bα＝＝.因为Aα＝Bα，所以)＝，故解得所以x＋y＝.2.(2013·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为，则·＝，即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.3.(2016·泰州期末卷)已知矩阵A＝，B＝，若矩阵AB－1对应的变换把直线l变为直线l′：x＋y－2＝0，求直线l的方程.解因为B＝，所以B－1＝，所以AB－1＝＝.设直线l上任意一点(x，y)在矩阵AB－1对应的变换下为点(x′，y′)，则＝，所以代入l′，得(x－2y)＋2y－2＝0，化简后得x＝2.故直线l的方程为x＝2.4.(2016·常州一模)已知矩阵M＝满足：Mαi＝λiai，其中λi(i＝1，2)是互不相等的实常数，αi(i＝1，2)是非零的平面列向量，λ1＝1，α2＝，求矩阵M.解由题意，λ1，λ2是方程f(λ)＝＝λ2－ab＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab＝1.又因为Mα2＝λ2α2，所以＝λ2，从而所以λ＝ab＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1.从而a＝b＝－1.故矩阵M＝.5.(2015·苏北四市期末)已知a，b∈R，矩阵A＝所对应的变换TA将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，b的值.解设直线x－y－1＝0上任意一点P(x，y)在变换TA作用下变成点P′(x′，y′)，由＝，得因为P′(x′，y′)在直线x－y－1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即(－1－b)x＋(a－3)y－1＝0.1又因为P(x，y)在直线x－y－1＝0上，所以x－y－1＝0.因此解得6.(2012·江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值.解因为AA－1＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.7.(2015·南通调研)已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a2＝，求矩阵A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa1＝λ1a1，即＝－1×，得同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1.因此矩阵A＝.8.已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程.解(1)设M＝，则＝8＝，故因＝，故联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝，则Me2＝＝2，解得2x＋y＝0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，则＝，即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，代入直线l的方程后并化简得x′－y′＋2＝0，即x－y＋2＝0.2
