1.4直角三角形的射影定理课后训练1．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，则CE·CA等于()．A．AD·ABB．CF·CBC．BD·BAD．BF·FC2．已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AD＝p，BD＝q，则tanA的值是()．A．p∶qB．pq∶qC．pq∶pD．pq:3．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，则线段AC在AB上的射影长等于()．A．4B．6C．2D．2134．Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝5，BD＝8，则S△CDA∶S△CDB为()．A．5∶8B．25∶64C．25∶39D．25∶895．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，2aCD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝__________.6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝4，4sin5ACD，则CD＝________，BC＝________.7．如图，四边形ABCD是正方形，E为AD上一点，且14AEAD，N是AB的中点，NF⊥CE于F.求证：FN2＝EF·FC．8．已知在Rt△ACB中，CD是斜边AB上的高，且点G是DC延长线上一点，且∠BAF＝∠BGD，求证：DC2＝DE·DG.如图，分别在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M，且12BHCMHCMD，AH和BM相交于点P，求证：AP＝9PH.参考答案1.答案：B12.答案：C解析：由射影定理得CD2＝AD·BD＝pq，∴CDpq，∴tanpqCDAADp.3.答案：A4.答案：A解析：由题意知△CDA∽△BDC，∴222()CDACDBSACACSCBCB.根据射影定理，得AC2＝AD·AB，CB2＝BD·AB，∴58CDACDBSADABADSBDABBD.5.答案：2a解析：连接DE，BD，易求32DEBCa，从而BD＝a，∴122aEFBD.6.答案：3154解析：在Rt△ADC中，AD＝4，4sin5ACD，由sinADACDAC，得454sin5ADACACD，又由射影定理AC2＝AD·AB，得2254ACABAD.∴259444BDABAD，由射影定理CD2＝AD·BD＝9494，∴CD＝3.又由射影定理BC2＝BD·AB，∴92515444BCBDAB.7.证明：如图，连接NE，NC．设正方形的边长为A．2∵14AEa，12ANa，∴2251644aaaNE.∵12BNa，BC＝a，∴22542aaNCa.∵34DEa，DC＝a，∴2295164aaECa.∴22516aNE，2254aNC，222516aEC.∴2222516aNENC.∴NE2＋NC2＝EC2.∴EN⊥NC，△ENC是直角三角形．又∵NF⊥EC，∴NF2＝EF·FC．8.证明：在Rt△ADE和Rt△GDB中，∠BAF＝∠BGD，所以Rt△ADE∽Rt△GDB．所以ADDEDGBD.所以AD·BD＝DE·DG.又CD是Rt△ABC斜边AB上的高．所以CD2＝AD·BD＝DE·DG.9.证明：在正方形ABCD中，∵12BHCMHCMD，∴13BHCMBCCD.∴13BHCMABBC.又∠ABH＝∠C＝90°，∴△ABH∽△BCM，∠PBH＝∠BAH.又∵∠BAH＋∠BHA＝90°，∴∠PBH＋∠BHP＝90°，即BP⊥AH.在Rt△ABH中，设BH＝k，则AB＝3k，10AHk.∴AB2＝AP·AH，BH2＝PH·AH.∴22223ABAPAHAPkBHPHAHPHk.∴AP＝9PH.3
