第二课时等差数列的性质及简单应用[选题明细表]知识点、方法题号等差数列性质的应用1,2,3,4,5,7等差数列的综合应用8,9,11,12,13实际应用题6,10基础巩固1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为(A)(A)5(B)6(C)8(D)10解析:由等差数列的性质,得a1+a9=2a5,又因为a1+a9=10,即2a5=10,所以a5=5.故选A.2.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是(D)(A)公差为-1的等差数列(B)公差为20的等差数列(C)公差为-20的等差数列(D)公差为19的等差数列解析:(a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19.所以由等差数列性质知数列{an+bn}是公差为19的等差数列.选D.3.(2019·烟台高二检测)等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(C)(A)20(B)22(C)24(D)-8解析:因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,而2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.4.(2019·东北三校联考)等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(··…·)等于(B)(A)10(B)20(C)40(D)2+log25解析:由等差数列的性质知a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=5×4=20,从而log2(··…·1)=log2220=20.故选B.5.(2019·成都高二检测)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有(C)(A)a1+a101>0(B)a2+a101<0(C)a3+a99=0(D)a51=51解析:根据性质得:a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,由于a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,所以a3+a99=2a51=0,故选C.6.一架飞机在起飞时,第一秒滑行了2m,以后每秒都比前一秒多滑行4m,又知离地前一秒滑行了58m,这架飞机起飞所用的时间为.解析:飞机每秒滑行的距离组成等差数列,记为{an},其中,a1=2,d=4,an=58,代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,得2+4(n-1)=58,解得n=15(s).答案:15s7.若x≠y,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3,b4,y都是等差数列,则=.解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2.则y-x=4d1=5d2,又a2-a1=d1,b4-b3=d2,所以==.答案:8.(2019·洛阳高二检测)在等差数列{an}中,已知a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求数列的通项公式.解:因为a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,又a2+a8=a3+a7=2a5,所以3a5=9,所以a5=3,所以a3+a7=2a5=6,①a3·a7=-7.②由①②解得a3=-1,a7=7或a3=7,a7=-1,所以a3=-1,d=2或a3=7,d=-2,由an=a3+(n-3)d,得an=2n-7或an=-2n+13.2能力提升9.(2019·黑龙江绥化期末)若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a的值为(B)(A)2.5(B)3.5(C)1.5(D)3解析:设公差为d,因为2,a,b,c,9成等差数列,所以9-2=4d,所以d=.又因为c-a=2d,所以c-a=2×==3.5.故选B.10.目前农村电子商务发展取得了良好的进展,若某家农村网店从第一个月起利润就成递增等差数列,且第2个月利润为2500元,第5个月利润为4000元,第m个月后该网店的利润超过5000元,则m等于(B)(A)6(B)7(C)8(D)10解析:设该网店从第一个月起每月的利润构成等差数列{an},则a2=2500,a5=4000.由a5=a2+3d,即4000=2500+3d,得d=500.由am=a2+(m-2)×500=5000,得m=7.故选B.11.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为.解析:设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5=a1+4d=,故第5节的容积为升.答案:升312.数列{an}为等差数列,bn=(),又已知b1+b2+b3=,b1b2b3=,求数列{an}的通项公式.解:因为b1+b2+b3=()+()+()=,b1b2b3=()=,所以a1+a2+a3=3.因为a1,a2,a3成等差数列,所以a2=1,故可设a1=1-d,a3=1+d,由()1-d++()1+d=,得2d+2-d=,解得d=2或d=-2.当d=2时,a1=1-d=-1,an=-1+2(n-1)=2n-3,当d=-2时,a1=1-d=3,an=3-2(n-1)=-2n+5.探究创新13.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第n+1列的数是.解析:第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n.答案:n2+n45
