第八节函数与方程课时作业练1.已知函数f(x)={2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为.答案0解析当x≤1时,由2x-1=0解得x=0;当x>1时,方程1+log2x=0无解.所以函数f(x)的零点为0.2.(2017盐城伍佑中学期末)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围是.答案(-4,-2)解析令f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,由题意得{f(0)=-m-2>0,f(1)=-8-2m<0,f(2)=-3m>0,解得-4
0,所以函数的零点在区间(5,6)上,则n=5.4.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.435-7414.5-56.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有个.答案3解析由零点存在性定理及题表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在[1,6]上至少有3个零点.5.若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是.答案[-14,2]1解析函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,即方程a=4x-2x,x∈[-1,1]有解,则a的取值范围就是函数y=4x-2x,x∈[-1,1]的值域,令2x=t,t∈[12,2],y=t2-t=(t-12)2-14,t∈[12,2],值域是[-14,2],即a的取值范围是[-14,2].6.方程|cos(x+π2)|=|log18x|的解的个数为.答案12解析 |cos(x+π2)|=|log18x|,∴|sinx|=|log18x|,作出函数y=|sinx|与y=|log18x|在(0,+∞)上的大致图象,如图所示.由图可知函数y=|sinx|与y=|log18x|的图象有12个交点,∴方程|cos(x+π2)|=|log18x|有12个解.7.(2019江苏南京、盐城高三模拟)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)={x(3-x),0≤x≤3,-3x+1,x>3,若函数y=f(x)-m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.答案[1,94)解析画出当x≥0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y轴对称可得x<0时f(x)的图象,由图象可得m∈[1,94).28.(2018江苏盐城阶段检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=lnx-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是.答案2解析当x>0时,f(x)=lnx-x+1,则f'(x)=1x-1=1-xx.由f'(x)=0得x=1,且x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x=1时,f(x)有极大值f(1),且f(1)=0.又奇函数的图象关于原点对称,作出函数f(x)与y=ex的图象如图,由图可知函数f(x)与y=ex的图象的交点个数是2,则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数是2.9.(2017兴化第一中学高三月考)已知函数f(x)={lnx+1x,x>1,2x2-2ax+a+58,x≤1,若g(x)=f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是.答案(12,78]解析当x>1时,f'(x)=x-1x2>0,f(x)递增,则g(x)有3个零点时,g(1)=1-2a<0,a>12,且2x2-2ax-a+58=0,x≤1有两个不相等的实数根,则{Δ=4a2-8(-a+58)>0,a2<1,218-3a≥0,解得120,x+1,x≤0.3(1)求g(f(1))的值;(2)若方程g(f(x))-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解析(1) f(1)=-12-2×1=-3,∴g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在t∈(-∞,1)时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象,如图所示,由图象可知,当1≤a<54时,函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,54).11.(2018常州教育学会学业水平检测)已知m∈R,函数f(x)=lg(m+2x).(1)若函数g(x)=f(x)+lgx2有且仅有一个零点,求实数m的值;(2)设m>0,任取x1,x2∈[t,t+2],若不等式|f(x1)-f(x2)|≤1对任意t∈[19,1]恒成立,求m的取值范围.解析(1)由题意知,g(x)=f(x)+lgx2=lg(mx2+2x), g(x)有且仅有一个零点,∴{m+2x>0,x2>0,mx2+2x-1=0有且仅有一个解.当m=0时,x=12,符合题意;当m≠0时,由Δ=4+4m=0,得m=-1,此时x=1,符合题意.综上,m=0或m=-1.4(2)当x>0时,u=m+2x为减函数, m>0,∴u>0,∴y=lgu为增函数,从而f(x)在(0,+∞)上为减函数. 任取x1,x2∈[t,t+2],|f(x1)-f(x2)|≤1对任意t∈[19,1]恒成立,∴f(t)-f(t+2)=lg(m+2t)-lg(m+2t+2)≤1对任意t∈[19,1]恒成立.∴m+2t≤10(m+2t+2)对任意t∈[19,1]恒成立,整理得,9mt...
