高中数学 第3章 不等式 3 基本不等式 第2课时 基本不等式与最大(小)值同步练习 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

【成才之路】2016年春高中数学第3章不等式3基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值同步练习北师大版必修5一、选择题1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()A．ab≤B．ab≥C．a2＋b2≥2D．a2＋b2≤2[答案]C[解析]由a＋b＝2，得ab≤()2＝1，排除A、B；又≥()2，∴a2＋b2≥2.故选C.2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数[答案]A[解析]令2x＝，由x<0得x＝－，∴在x＝－两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C、D.f(x)＝2x＋－1＝－－1≤－2－1＝－2－1，等号在x＝－时成立，排除B.3．已知a、b是正数，则、和的大小顺序是()A.≥≥B.≥≥C.≥≥D.≥≥[答案]D[解析]a、b是正数，显然有≥(当且仅当a＝b时，取等号)；再比较与， ()－＝－＝－()2≤0，∴≤，故选D.4．(2016·云南师大附中高三月考)已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于()A．2B．4C．2D．2[答案]C[解析]当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C.5．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为()A．3米B．4米C．6米D．12米[答案]A[解析]解法一：设隔墙的长度为xm，则矩形的宽为xm，长为＝(12－2x)m，矩形的面积为S＝(12－2x)x＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S取最大值，故选A.解法二：(接解法一)S＝(12－2x)·x＝2(6－x)·x1≤2·2＝18当且仅当6－x＝x即x＝3时取“＝”．故选A.6．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]因为x，a，b，y成等差数列，所以a＋b＝x＋y.因为x，c，d，y成等比数列，所以cd＝xy，所以＝＝＝＋2.因为x>0，y>0，所以＋2≥＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．二、填空题7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．[答案]18[解析]本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值． log2a＋log2b≥1∴log2ab≥1，ab≥2.∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2＝18.(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)8．若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________．[答案]－1[解析] x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．∴f(x)的最大值为－1.三、解答题9．已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.[证明] a＋b＋c＝1，代入不等式的左端，∴(－1)(－1)(－1)＝(－1)(－1)(－1)＝(＋)(＋)(＋)＝＋＋＋＋＋＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋2. a、b、c∈(0，＋∞)，∴＋≥2，＋≥2，＋≥2，∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6，∴(－1)(－1)(－1)≥8，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．10．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值．[解析] a2＋＝1，∴a2＋＝，a＝·a·2≤·＝·＝.∴当a2＋＝1且a＝，即a＝，b＝时，a的最大值为.一、选择题1．已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[答案]C[解析]由条件得|lga|＝|lgb|，∴lga＝lgb或lga＝－lgb， a≠b，∴lga＝lgb不成立．∴只有lga＝－lgb.即lga＋lgb＝0，∴ab＝1，b＝.又a>0，∴a＋b＝a＋>2，故选C.2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2][答案]D[解析]因为2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2＝2，故≤，即2x＋y≤＝2－2.所以x＋y≤－2，故选D.3．下列命题中正确的是()A．函数y＝x＋的最小值为2B．函数y＝的最小值为2C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4[答案]D[解析]对于A，当x<0时，不成立；对于B，若设＝2，则无实数解；对于C、D，y＝2－3x－≤2－4(x>0)，当且仅当3x＝时，等号成立，故选D.4．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A.B.C．2D．4[答案]D[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的...