第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示1.（2014福建，5分）在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析：由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2)．答案：B2.（2014四川，5分）平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：法一：由已知得c＝(m＋4,2m＋2)，因为cos〈c，a〉＝，cos〈c，b〉＝，所以＝，又由已知得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2.法二：易知c是以ma，b为邻边的平行四边形的对角线向量，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b|＝2|a|，故m＝2.答案：D3.（2014北京，5分）已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析： |a|＝1，∴可令a＝(cosθ，sinθ)， λa＋b＝0.∴即由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.答案：4.（2014江西，5分）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.答案：5.（2014陕西，12分）在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若＋＋＝0，求||；(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解：(1)法一： ＋＋＝0，又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴解得x＝2，y＝2，即＝(2,2)，故||＝2.法二： ＋＋＝0，则(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2,2)，∴||＝2.(2)由题意得＝(1,2)，＝(2,1)， ＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n,2m＋n)，∴两式相减得，m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.6．（2013浙江，5分）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则()A．∠ABC＝90°B．∠BAC＝90°C．AB＝ACD．AC＝BC解析：选D本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何意义等，意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力．设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，则A(－2,0)，B(2,0)，则P0(1,0)，设C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)．则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.7．（2013辽宁，5分）已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.解析：选A本题主要考查向量的坐标表示．由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是＝.8．（2013福建，5分）在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.B．2C．5D．10解析：选C本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识，意在考查考生对基础知识的掌握情况．依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.9．（2013陕西，5分）已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2),若a∥b,则实数m等于()A．－B.C．－或D．0解析：选C本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示．a∥b的充要条件的坐标表示为1×2－m2＝0，∴m＝±.10．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，考查转化思想和运算能力．＝－＝(3,2－t)，由题意知·＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝5.答案：511．（2013北京，5分）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示...
