第48课基本不等式及其应用(二)一、填空题1.已知函数y=x-3+91x(x>-1).若当x=a时,该函数取得最小值b,则a+b=.2.(2014·四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PA·PB的最大值是.3.(2014·武汉模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为.(第3题)4.若正数x,y满足2x+y-3=0,则2xyxy的最小值为.5.设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为.6.若对任意的x>0,231xxx≤a恒成立,则实数a的取值范围是.7.设奇函数f(x)在[-1,1]上是单调增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则当a∈[-1,1]时,实数t的取值范围是.8.(2014·宁德模拟)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),那么x1+x2+12axx的最小值为.二、解答题9.(2014·安丰高级中学)已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b2+c2-a2)tanA1=3bc.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC面积S的最大值.10.(2014·湖北模拟)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点(x,y)为该抛物线上的动点,且点A(-2,0),求PAPF的取值范围.11.如图,两个工厂A,B相距2km,点O为AB的中点,现要在以O为圆心、2km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼,其中MA⊥AB,NB⊥AB.据测算,此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比,比例系数是1;办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比,比例系数是4;办公楼受A,B两厂的“总噪音影响度”y是受A,B两厂“噪音影响度”的和,设AP为xkm.(1)求“总噪音影响度”y关于x的函数解析式,并求出该函数的定义域.(2)当AP为多少时,“总噪音影响度”最小?(第11题)第48课基本不等式及其应用(二)1.4解析:y=x-3+91x=x+1+91x-4,因为x>-1,所以x+1>0,91x>0,由均值不等式得y=x+1+91x-4≥29(1)1xx-4=2,当且仅当x+1=91x,即x=2时取等号,所以a=2,b=2,a+b=4.2.5解析:由题意可知,定点A(0,0),B(1,3),且两条直线互相垂直,则其交点P(x,y)落在以AB为直径的圆上,所以PA2+PB2=AB2=10,所以PA·PB≤222PAPB=5,当且仅当PA=PB时,等号成立.23.20m解析:设矩形花园另一边长为ym,则40x=40-40y,所以x+y=40,所以面积S=xy≤22xy=400,当且仅当x=y=20时等号成立,即当x=20时面积最大.4.3解析:由2x+y-3=0,得23x+3y=1,则2xyxy=2x+1y=21233xyxy=23yxxy+53≥23×2+53=3.5.4解析:由题意知3a×3b=2(3),即3a+b=3,所以a+b=1.所以1a+1b=aba+abb=2+ba+ab≥2+2=4,当且仅当a=b=12时取等号,所以最小值为4.6.1,5解析:因为x>0,所以x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号),所以231xxx=113xx≤123=15,即2x31xx的最大值为15,故a≥15.7.{t|t≤-2或t=0或t≥2}解析:因为奇函数f(x)在[-1,1]上是单调增函数,且f(-1)=-1,所以最大值为f(1)=1,要使f(x)≤t2-2at+1对所有的x∈[-1,1]都成立,则1≤t2-2at+1,即t2-2at≥0,即t(t-2a)≥0,当t=0时,不等式成立,当0≤a≤1时,不等式的解为t≥2;当-1≤a≤0时,不等式的解为t≤-2.8.433解析:由题意知x1+x2=4a,x1x2=3a2,所以x1+x2+12axx=4a+13a≥243=433,当且仅当a=36时,等号成立.9.(1)由已知得222-2bcabc·sinAcosA=32,所以sinA=32.又因为△ABC为锐角三角形,所以A=60°.3(2)因为a=2,A=60°,所以b2+c2=bc+4,S=12bcsinA=34bc.又b2+c2≥2bc,所以bc+4≥2bcbc≤4,所以S=34bc≤34×4=3,所以△ABC面积S的最大值为3.10.由抛物线的定义可得PF=x+2,又PA=22(2)xy=2(2)8xx,所以PAPF=2(2)82xxx=28144xxx,当x=0时,PAPF=1;当x≠0时,PAPF=8144xx,因为x+4x≥24·xx=4,当且仅当x=4x,即x=2时取等号,所以x+4x+4≥8,所以844xx≤1,所以8144xx∈(1,2].综上,PAPF的取值范围是[1,2].11.(1)连接OP,设∠AOP=α,则3≤α≤23.在△AOP中,由余弦定理得x2=12+22-2×1×2×cosα=5-4cosα,在△BOP中,由余弦定理得BP2=12+22-2×1×2×cos(π-α)=5+4cosα,所以BP2=10-x2,则y=21AP+24BP=21x+2410-x.因为3≤α≤23,所以-12≤cosα≤12,4所以3≤5-4cosα≤7,即3≤x≤7.所以y=21x+2410-x,定义域为[3,7].(2)方法一:由(1)得y=21x+2410-x=110（21x+2410-x）·[x2+(10-x2)]=2222110-451010-xxxx≥2222110-4521010-xxxx=910,当且仅当2210-xx=22410-xx,即x2=103时取等号,此时x=303∈[3,7].故当AP为303km时,“总噪音影响度”最小.方法二:令t=x2,则y=1t+410-t(3≤t≤7),所以y'=2-1t+24(10-)t=2222(2)-(10-)(10-)tttt=22(10)(3-10)(10-)tttt.令y'=0,得t=103或t=-10(舍去).当t∈103,3时,y'<0,函数单调递减;当t∈10,73时,y'>0,函数单调递增.所以当t=103,即x=303∈[3,7]时,y有最小值.故当AP为303km时,“总噪音影响度”最小.5
