2导数的概念及其几何意义[A组基础巩固]1．设f(x)为可导函数，且满足lim＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是()A．1B．－1C.D．－2解析： lim＝－1，∴lim＝－1，∴f′(1)＝－1.答案：B2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析： 点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.又 函数y＝x2＋ax＋b在x0＝0处的切线方程是x－y＋1＝0，∴lim＝a＝1，故选A.答案：A3．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y－1＝0解析： 点Q(2,1)在抛物线上，∴由导数的定义可得，lim＝lim＝lim(1＋·Δx)＝1，∴y＝x2在点Q(2,1)处的导数为1.∴所求的切线方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0.答案：B4．已知曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.C．－D．－1解析：令y＝f(x)＝ax2，则曲线在点(1，a)处的切线斜率k＝f′(1)，即2＝k＝f′(1)＝lim＝2a,故a＝1.答案：A5．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1,0)B．(1,0)或(－1，－4)C．(2,8)D．(2,8)或(－1，－4)解析：设P0(x0，y0)，＝＝＝＝3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2，f′(x0)＝lim＝3x＋1.所以3x＋1＝4，x＝1，x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，1x0＝－1时，y0＝－4，所以P0为(1,0)或(－1，－4)．答案：B6．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝__________.解析： 点P为切点，∴f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.答案：27．曲线y＝f(x)＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．解析： f′(1)＝lim＝－1，∴曲线在(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.答案：x＋y－2＝08．函数y＝x2在x＝________处的导数值等于其函数值．解析：设函数y＝x2在点(x0，y0)处的导数值与其函数值相等， f′(x0)＝lim＝lim＝2x0，令y0＝x，∴2x0＝x，解得x0＝0或x0＝2，即在x＝0或x＝2处的导数值与其函数值相等．答案：0或29．已知曲线y＝上一点P(1,2)，用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角α的大小和切线方程．解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－，∴＝＝＝，∴过点P的切线的斜率k＝lim＝lim＝＝1，∴tanα＝1，∴α＝45°，即过P点的切线的倾斜角等于45°.由点斜式方程得过P点的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.10．已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°；(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0.解析：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，无限趋于4x0，即f′(x0)＝4x0.(1) 抛物线的切线的倾斜角为45°，2∴斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝.∴该点为(，)．(2) 抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1.∴该点为(1,3)．(3) 抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.∴该点为(2,9)．[B组能力提升]1．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)＜f′(xB)．答案：B2．已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则lim＝()A．3B．－C.D．－解析：f′(1)＝1，lim＝lim＝－lim＝－f′(1)＝－.答案：B3．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．解析：设切点为(x0，x)，f′(x0)＝lim＝lim＝lim(2x0＋Δx)＝2x0，由题意2x0(－)＝－1，所以x0＝2，y0＝4.kl＝4，所以l的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.答案：4x－y－4＝04．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为__________．解析：根据题意可知在点P处切线的斜率为f′(－2)＝－5.因为点P的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，故直线OP...
