2016-2017学年高中数学第2章变化率与导数2导数的概念及其几何意义课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．函数f(x)＝3－2x在x＝1处的导数为()A．3B．－3C．2D．－2解析：＝＝＝－2，故答案为D.答案：D2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是()A．(0,0)B．(2,4)C.D.解析：首先计算曲线y＝x2在点x0处的导数f′(x0)＝2x0，然后令f′(x0)＝2x0＝tan＝1得x0＝，可知答案为D.答案：D3．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝()A．－1B.C．1D.解析：＝3a－3aΔx＋a(Δx)2当Δx→0时，3a＝3，∴a＝1.答案：C4．曲线y＝x3＋x－2在点P的切线平行于直线y＝4x－1，则此切线的方程为()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋8D．y＝4x或y＝4x－4解析：设P(x0，y0)是曲线的切点，由导数的定义可求得：f′(x0)＝3x＋1，因为在点P的切线与直线y＝4x－1平行，所以3x＋1＝4.解得x0＝1或x0＝－1，则点P坐标为(1,0)或(－1，－4)，所以所求的切线方程为y＝4x－4或y＝4x.答案：D二、填空题5．已知曲线f(x)＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为__________．解析：过点P的切线的斜率k＝f′(1)＝lim＝1，设过点P的切线的倾斜角为α，则tanα＝1.又∵α∈[0，π)，∴α＝.答案：6.如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________________.解析：由导数的几何意义知f′(4)＝－2，由点P在切线y＝－2x＋9上知yP＝－2×2＋9＝1.1∴点P的坐标为(4,1)，∴f(4)＝1，∴f(4)＋f′(4)＝1＋(－2)＝－1.答案：－1三、解答题7．在曲线y＝x2上分别求一点P使得曲线在该点处的切线满足以下条件：(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.解析：由y＝x2，得Δy＝(x0＋Δx)2－x＝2x0Δx＋(Δx)2，＝2x0＋Δx.当Δx无限趋近于0时，2x0＋Δx无限趋近于2x0，∴f′(x0)＝2x0.设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.8．已知曲线C的方程f(x)＝x3.(1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，－4)的切线方程；(3)求曲线C过点(1,1)的切线方程．解析：f′(x0)＝lim＝lim＝lim[3x＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x.(1)f′(1)＝3×12＝3，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.(2)点(1，－4)不在曲线上，设切点为(x0，y0)，则有则则k＝12.所以切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16.(3)点(1,1)在曲线上，①若切点就是(1,1)，则切线方程为y＝3x－2.②若切点不是(1,1)，设切点为(x0，y0)(x0≠1)．则则则k＝.所以切线方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.综合①②，曲线C过(1,1)点有两条切线y＝3x－2和y＝x＋.9．抛物线y＝x2在点M(2,1)处的切线与x轴相交于N，O、F分别为该抛物线的顶点、焦点．(1)求MN的方程；2(2)求四边形OFMN的面积．解析：(1)由导数的几何意义知切线的斜率k＝f′(2)＝lim＝lim＝1，∴切线方程为y－1＝x－2即x－y－1＝0.(2)由抛物线方程为x2＝4y，得F(0,1)，∵N(1,0)，∴四边形OFMN为梯形，其面积为S＝·1·(1＋2)＝.3
