（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 第49课 平面的性质与空间直线的位置关系要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第九章第49课平面的性质与空间直线的位置关系要点导学要点导学各个击破多点共线与多线共点的证明如图,已知△ABC的各顶点均在平面α外,直线AB,AC,BC分别交平面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.(例1)[思维引导]根据公理2,选择恰当的两个平面,只要证明R,Q,P三点都是某两个平面的公共点,即可证明三点在这两个平面的交线上.[证明]设△ABC确定了一个平面β,因为点R∈BC,所以R∈β.又R∈α,所以R在平面α和平面β的交线上.同理,点P,Q也在平面α和平面β的交线上.而平面α和平面β的交线只有一条,故P,Q,R三点共线.[精要点评](1)证明点共线的方法:①先考虑两个平面的交线,再证明有关的点都是这两个平面的公共点;②先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在这条直线上.(2)公理的正确运用,严密的逻辑推理过程,文字、符号、图形语言的转化是解立体几何题的基本要求,也是高考考查的重点.已知E,F,G,H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边AB,AD,BC,CD上的点,且直线EF和GH交于点P,求证:B,D,P在同一条直线上.(变式)1[证明]因为P∈EF,而E∈AB,F∈AD,所以EF平面ABD,所以P∈平面ABD;同理,P∈平面BDC.所以点P在平面ABD与平面BDC的交线上.又因为平面ABD∩平面BDC=BD,所以P∈BD,即B,D,P在同一条直线上.点线共面的证明已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交,求证:l与a,b,c共面.[思维引导]先由两平行直线确定一个平面,再确定另一个平面,最后说明两平面重合且直线l在三平行直线所确定的平面内即可.(例2)[证明]如图,因为a∥b,所以直线a,b可确定一个平面α.因为b∥c,所以直线b,c可确定一个平面β.因为A∈a,B∈b,C∈c,且A,B,C∈l,所以lα,lβ,所以存在两条相交直线b,l既在平面α内又在平面β内,所以由公理3及推论知,平面α,β必重合,所以直线l与直线a,b,c共面.[精要点评]证明几条线共面的方法:①先由有关元素确定一个基本平面,再证其他的点(或线)在这个平面内;②先由部分点线确定平面,再由其他点线确定平面,然后证明这些平面重合.求证:若不交于同一个点的四条直线两两相交,则这四条直线共面.[证明]若三直线l1,l2,l3交于一点A(如图(1)),则由点A与l4确定一个平面α,A∈α,B∈α,ABα,l1α,同理可得l2α,l3α,所以l1,l2,l3,l4四线共面.2图(1)图(2)(变式)若四直线无三线共点,设两直线l1,l2交于一点A(如图(2)),则l1,l2确定一个平面α,则B∈α,C∈αl3α.同理,l4α,所以l1,l2,l3,l4四线共面.求异面直线所成的角(2014·全国卷)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,求异面直线CE与BD所成角的余弦值.(例3)[解答]设AD的中点为F,连接EF,CF,则EF∥BD,所以异面直线CE与BD所成的角是∠FEC或其补角.设正四面体ABCD的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=3a,由余弦定理可得cos∠CEF=222-2·EFECCFEFEC=36.故异面直线CE与BD所成角的余弦值为36.(2014·通城模拟)已知四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为5,底面ABCD是边长为2的正方形,求CD与PA所成角的余弦值.[解答]在正方形ABCD中,CD∥AB,所以∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角.在△PAB中,PA=PB=5,AB=2,3所以cos∠PAB=222-2·PAABPBPAAB=54-5252=55,故CD与PA所成角的余弦值为55.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.(范题赏析)(1)求证:C1,O,M三点共线;(2)求证:E,C,D1,F四点共面;(3)求证:CE,D1F,DA三线共点.[规范答题](1)因为C1,O,M∈平面BDC1,点C1,O,M∈平面A1ACC1,由公理3知点C1,O,M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,(3分)所以C1,O,M三点共线.(4分)(2)连接A1B,CD1.因为E,F分别是AB,A1A的中点,所以EF∥A1B.(6分)因为A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四点共面.(8分)(3)由(2)可知,E,C,D1,F四点共面.又EF=12A1B,所以D1F,CE为相交直线,设交点为P,(10分)则P∈D1F平面ADD1A1,P∈CE平面ADCB.(12分)又平面ADD1A1∩平面ADCB=AD,所以P∈AD,所以CE,D1F,DA三线共点.(14分)1.如果a,b是异面直线,b,c也是异面直线,那么直线a与c的位置是.4[答案]平行、相交或异面[解析]事实上,直线a与c的位置关系是不确定的.2.若l∩m=,则直线l与m的位置关系是.[...