第14讲函数的零点问题1.设a为实数,若函数f(x)=√3-x-√1+x-a存在零点,则实数a的取值范围是.2.(2018南京第一学期期末)若m>0,且关于x的方程(mx-1)2-m=√x在区间[0,1]上有且只有一个实数解,则实数m的取值范围是.3.(2018江苏泰州中学高三月考)若函数f(x)=|2x-1|,则函数g(x)=f(f(x))+lnx在(0,1)上不同的零点个数为.4.(2018江苏扬州中学模拟)已知函数f(x)={2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则实数b的取值范围是.5.(2018淮海中学模拟)已知函数f(x)={x2-2ax-a+1,ln(-x),x≥0,x<0,g(x)=x2+1-2a,若函数y=f(g(x))有4个零点,则实数a的取值范围是.6.已知m∈R,函数f(x)=lg(m+2x).(1)若函数g(x)=f(x)+lgx2有且仅有一个零点,求实数m的值;(2)设m>0,任取x1,x2∈[t,t+2],若不等式|f(x1)-f(x2)|≤1对任意t∈[19,1]恒成立,求m的取值范围.7.(2018盐城伍佑中学期末考试)已知g(x)=x2-2ax+1在区间[1,3]上的值域是[0,4].(1)求a的值;(2)若不等式g(2x)-k·4x≥0在x∈[1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围;1(3)若函数y=g(|2x-1|)|2x-1|+k·2|2x-1|-3k有三个零点,求实数k的取值范围.2答案精解精析1.答案[-2,2]解析易知函数的定义域是[-1,3],则a=√3-x-√1+x在[-1,3]上有解,且函数y=√3-x-√1+x,x∈[-1,3]递减,则a∈[-2,2].2.答案(0,1]∪[3,+∞)解析在同一坐标系中作出函数y=(mx-1)2-m,y=√x的图象,在区间[0,1]上有且只有一个交点,又m>0,则1-m≥0或(m-1)2-m≥1,解得0
2,2,0≤x≤2,x2+x+2,x<0有4个根,作出函数图象如图,由图可得741时,f(t)有两个零点t1=-1,t2>1,要使函数y=f(g(x))有4个零点,只要1-2a<-1,a>1;当1-a=0,a=1时,f(t)有三个零点t1=-1,t2=0,t3=2,此时函数y=f(g(x))有5个零点,不符合题意,舍去;当1-a>0,a<1时,此时1-2a>-1,要使函数y=f(g(x))有4个零点,则Δ=4a2+4a-4>0,且a-√a2+a-1>1-2a,解得√5-120,x2>0,mx2+2x-1=0有且仅有一解.当m=0时,x=12,符合题意;当m≠0时,由Δ=4+4m=0,得m=-1,符合题意.综上,m=0或m=-1.(2)∵当x>0时,u=m+2x为减函数,∵m>0,∴u>0,∴y=lgu为增函数,从而f(x)在(0,+∞)上为减函数.∵任取x1,x2∈[t,t+2],|f(x1)-f(x2)|≤1对任意t∈[19,1]恒成立,∴f(t)-f(t+2)=lg(m+2t)-lg(m+2t+2)≤1对任意t∈[19,1]恒成立,∴m+2t≤10(m+2t+2)对任意t∈[19,1]恒成立,整理得,9mt2+18(m+1)t-4≥0对任意t∈[19,1]恒成立.4∵m>0,∴y=9mt2+18(m+1)t-4在t∈[19,1]上为增函数,∴当t=19时,ymax=19m+2(m+1)-4≥0,解得m≥1819.7.解析(1)g(x)=x2-2ax+1=(x-a)2+1-a2在区间[1,3]上值域为[0,4],若1≤a≤3,则g(x)的最小值为g(a)=1-a2,令g(a)=1-a2=0,得a=±1,∴a=1,此时g(x)=(x-1)2,满足在区间[1,3]上值域为[0,4];若a>3,则g(x)在区间[1,3]上单调递减,g(x)的最小值为g(3),令g(3)=0,得到10-6a=0,解得a=53,舍去;若a<1,则g(x)在区间[1,3]上单调递增,g(x)的最小值为g(1),令g(1)=0,得到2-2a=0,得到a=1.综上,a=1.(2)由于g(2x)-k·4x≥0,所以(2x)2+2×2x+1-k·4x≥0,化为1+(12x)2-2·12x≥k,令t=12x,则1+t2-2·t≥k,因为x∈[1,+∞),所以t∈(0,12],记h(t)=t2-2t+1,因为t∈(0,12],故h(t)min=14,所以k的取值范围是(-∞,14].(3)令y=0,问题可化为|2x-1|2-2×|2x-1|+1+2k-3k|2x-1|=0(|2x-1|≠0)有三个不同的根,令|2x-1|=t,则t∈(0,+∞),∵2x-1>-1,∴当x<0时t=|2x-1|=1-2x,t的范围为(0,1)且函数单调递减,当01时,t=|2x-1|=2x-1,t的范围为(1,+∞)且单调递增,t2-(3k+2)t+(2k+1)=0有两个不同的实数解t1,t2,函数有3个零点等价于01,或00,h(1)=-k<0,①或{2k+1>0,h(1)=-k=0,0<3k+22<1,②解不等组①,得k>0,而不等式组②无实数解,所以实数k的取值范围是(0,+∞).6
