第十一章计数原理、随机变量及其分布第3讲二项式定理练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·广东卷)在(－1)4的展开式中，x的系数为________.解析Tr＋1＝C·()4－r·(－1)r，令r＝2，则C(－1)2＝6.答案62.(2016·苏州质检)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝________.解析Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1.答案13.(2016·江西八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是________.解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2，又a0＝C1720＝1，a8＝C(－2)7＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝－2－1－(－128)＝125.答案1254.(2015·天津卷)在的展开式中，x2的系数为________.解析的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r，当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C＝.答案5.(2016·河南八校三联)的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n＝9，∴展开式的第四项为T4＝C·()6·＝.答案6.二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________.解析依题意n＝10，则的通项公式Tr＋1＝C()10－r＝2rCx5－r.令5－r＝0，得r＝2.∴展开式中的常数项T3＝22C＝180.答案1807.(2014·浙江卷改编)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝________.解析在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60，f(1，2)＝C·C＝36，f(0，3)＝C＝4，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝120.答案1208.(2015·全国Ⅱ卷)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.解析设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，1所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.答案3二、解答题9.已知二项式的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项.解(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，∴2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.10.已知.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C23＝，T5的系数为C24＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C27＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去).设第r＋1项的系数最大，∵＝(1＋4x)12，∴∴9.4≤r≤10.4，∴r＝10.∴展开式中系数最大的项为第11项，T11＝C··210·x10＝16896x10.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________.解析由题意得：a＝C，b＝C，所以13C＝7C，∴＝，∴＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解.答案612.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字作答).解析由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝C－C＝8－28＝－20.答案－2013.(2014·安徽卷)设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________.解析由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4).2故a0＝1，a1＝3，a2＝4.又的通项公式Tr＋1＝C(r＝0，1，2，…，n).故＝3，＝4，解得a＝3.答案314.(2016·盐城一模)已知f(x)＝(2＋)n，其中n∈N*.(1)若展开式中含x3项的系数为14，求n的值；(2)当x＝3时，求证：f(x)必可表示成＋(s∈N*)的形式.(1)解因为Tr＋1＝C2n－rx，所以r＝6，故x3项的系数为C·2n－6＝14，解得n＝7.(2)证明由二项式定理可知，(2＋)n＝C2n()0＋C2n－1()1＋C2n－2()2＋…＋C20()n，设(2＋)n＝x＋y＝＋，而若有(2＋)n＝＋，a，b∈N*，则(2－)n＝－，a，b∈N*.因为(＋)·(－)＝(2＋)n·(2－)n＝1，所以令a＝s，s∈N*，则必有b＝s－1.所以f(x)必可表示成＋的形式，其中s∈N*.3
