课时分层作业(一)数列的概念(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列数列中，既是递增数列，又是无穷数列的是()A．1，，，，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，C[D是有穷数列，故D错误；A、B是递减数列，故A、B错误；故选C.]2．下面有四个结论，其中叙述正确的有()①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图像表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式．A．①②B．②③C．③④D．①④B[①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．]3．数列的通项公式为an＝则a2·a3等于()A．70B．28C．20D．8C[由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.]4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列A[an＝＝1－，当n≥2时，an－an－1＝1－－＝－＝>0，所以{an}是递增数列．]5．数列，，，，…的第10项是()A.B.C.D.C[由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝.∴a10＝＝，故选C.]1二、填空题6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，，，________，3，，….[由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为.]7．数列11,103,1005,10007，…的一个通项公式是________．an＝10n＋2n－1[a1＝10＋1＝101＋1，a2＝100＋3＝102＋(2×2－1)，a3＝1000＋5＝103＋(2×3－1)，…所以an＝10n＋2n－1.]8．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3为此数列的第________项．2或6[令an＝n2－8n＋15＝3，即n2－8n＋12＝0，解得n＝2或6.]三、解答题9．写出下面各数列的一个通项公式．(1)，，，，，…；(2)－1，，－，，－，，…；(3)6,66,666,6666，….[解](1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为an＝.(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为an＝(3)这个数列的前4项可写为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)．10．已知数列{an}的通项公式为an＝30＋n－n2.(1)－60是否为这个数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由；(2)当n分别为何值时，an＝0，an>0；(3)当n为何值时，an取得最大值？并求出最大值．[解](1)令30＋n－n2＝－60，即n2－n－90＝0，解得n＝10或n＝－9(舍去)，∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60.(2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0，解得n＝6或n＝－5(舍去)，即当n＝6时，an＝0.令30＋n－n2>0，即n2－n－30<0，2解得－5
0.(3)an＝30＋n－n2＝－2＋，∵n∈N＋，∴当n＝1时，an取得最大值，最大值为30.11．数列0.7,7.7,77.7,777.7，…的一个通项公式是an＝()A.(10n－1)B.(10n－1)C.(10n－1)D.(10n－1)D[代入n＝1检验，排除A、B、C.]12．(多选题)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)，且{an}单调递增，则k的取值可以为()A．1B．2C．3D．4AB[an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可，故选AB.]13．(一题两空)已知数列{an}，an＝an＋2m(a<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则m＝________，a3＝________.2[∴a2－a＝2，∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.又a＋2m＝2，∴m＝，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.]14．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图中共有化学键________个．5n＋1[各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….若把6看成是1＋5，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n个图有化学键5n＋1个．]315．在数列{an}中，an＝.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(3)区间内有无此数列的项？若有，有几项？[解](1)a7＝＝.(2)证明：因为an＝＝1－，0<<1，所以0
