1.1导数与函数的单调性[A组基础巩固]1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0,2)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，当x<0时，f′(x)>0，当0
2时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是(0,2)．答案：B2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin2xB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝－x＋ln(1＋x)解析：令y＝xex，当x∈(0，＋∞)时，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)>0.答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)在R上()A．是增函数B．是减函数C．是常函数D．既不是增函数也不是减函数解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3b＝4(a2－3b)．因为a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数．答案：A4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是()解析：由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当00；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若对任意x∈(a，b)都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0；⑤可导的单调函数的导函数仍为单调函数．解析：举反例．若f(x)＝x3，x∈(－1,1)，则f(x)是单调增函数，但f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，所以①⑤错误；若f(x)＝x2，②错误；若f(x)＝－x，x∈(－2，－1)，则④错误．答案：③7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为________．解析： f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0，得－10，所以g(x)max＝g(1)＝－，故m≥－.答案：[－，＋∞)9．求下列函数的单调区间：(1)y＝x2－lnx；(2)y＝x＋sinx，x∈(0，π)．解析：(1) 函数的定义域为(0，＋∞)，又 y＝x2－lnx，∴y′＝x－＝.①令y′>0，即>0，又 x>0，∴，∴x>1.②令y′<0，即<0，又 x>0，∴，∴00，得cosx>－，又 x∈(0，π)，∴00)．2 函数f(x)存在单调递减区间，∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上有无穷多个解．∴关于x的不等式2ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解．①当a>0时，函数y＝2ax2＋2x－1的图像为开口向上的抛物线，∴关于x的不等式2ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上总有无穷多个解．②当a<0时，函数y＝2ax2＋2x－1的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为直线x＝－>0.要使关于x的不等式2ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解．则Δ＝4＋8a>0，解得a>－，此时－
