高中数学第一章计数原理1.2排列课堂导学苏教版选修2-3三点剖析一、一般的排列问题【例1】从1～9的九个数字中,取出5个数作排列,并把五个位置自右至左编号,则奇数数字只在奇数位上的排列有多少个?解法一:1,2,…,9中只有四个偶数数字,故排列中至少有一个奇数数字,一奇四偶的排列可按下列程序得到:从五个奇数数字中选取一个放在三个奇数位置中的一个上,再把四个偶数数字排在剩下的四个位置上,因此一奇四偶的排列有××,类似地,二奇三偶的排列有×××种,三奇二偶的排列有×种,因此适合题意的排列个数有=2520(个).解法二:(转换思维角度,将本题解释为“偶数位置上的数字必是偶数”)由题意知只有两个偶数位置,应从四个偶数中选取两个排列在这两个偶数位置上,有种排列,再从剩下七个数字中选取三个排列在其余三个位置上,有种排法,故适合题意的排列个数是·=2520(个).温馨提示一定要认真审题,弄清题目所蕴含的含义,否则就会出现漏解或重解的情况.不同情形的分类要考虑周密,做到不重不漏,另外在解决数字排列问题时还必须熟悉自然数的性质,同时数字0的安排要特别引起重视.二、有限制条件的排列问题【例2】六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.思路分析:本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力.解:(1)要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法,根据分步计数原理,共有站法=480(种).(2)先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有种站法,再对甲、乙进行全排列,有种站法,根据分步计数原理,共有=240种站法.1(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有种;第二步再将甲、乙插入4人形成的5个空当(含两端)中,有种,故共有站法=480(种).(4)先将甲、乙以外的4个人作全排列,有种,然后将甲、乙按条件插入站队,有种,故共有=144种站法.(5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种,再让其他4人在中间位置作全排列,有种,根据分步计数原理,共有=48种站法.(6)甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有种,所以甲不站左端,乙不站右端共有=504种站法.三、用排列数公式证明【例3】求证:.证明:===,所以.各个击破类题演练1用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中有多少个偶数?若将这些偶数从小到大排列,3402是第几个数?思路分析:由偶数定义,求四位偶数时,优先考虑个位,只能为0,2,4之一,但由于0不能排首位,因此可按个位是否为0进行分类.求3402是第几个数,即求不大于3402的四位偶数的个数,可考虑先排千位,再排个位和其他位置.解:(1)按个位情形分类:①个位为0的有=60个;②个位不为0的,先排个位接着排首位,再排中间两位有=96个,故所求的四位偶数共有60+96=156个.(2)按千位进行分类:①千位为1时,先排个位,再排中间两位有个;②千位为2时有2个;③千位为3时,百位为0或2的有2×2个,百位为1的有3个,百位为4的仅1个.总共有=82个,即所得偶数从小到大排列,3402是第82个数.变式提升1某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以挂一面、两面或三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号?解析:表示信号这件事,可分为三类:第一类:挂一面旗表示信号,是从3个不同元素中任取1个元素的排列,共有种不同的方法;第二类:挂两面旗表示信号,是从3个不同元素中任取2个元素的排列,共有种方法;第三类:挂三面旗表示信号,是3个元素的全排列,共有种方法.由分类加法计数原理,可以表示信号共有=3+3×2+3×2×1=3+6+6=15(种).类题演练2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?解析:(1)先排歌唱节目有种,歌唱节目之间以及两端共有6个空位,从中选4个安排舞蹈节目,共有种方法,所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有=43200种方法.(...
