第40课等比数列一、填空题1.在等比数列{an}中,若a3=2,a7=8,则a5=.2.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=18,S3=26,则数列{an}的公比q=.3.在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,已知a5=2S4+3,a6=2S5+3,那么此数列的公比q=.4.若各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,且a3,a5,a6成等差数列,则3546aaaa=.5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2a8=2a3a6,S5=-62,则a1=.6.若等比数列{an}的公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,则a3·a6·a9·…·a30=.7.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.8.已知an=1nsin25n,Sn=a1+a2+…+an,那么在S1,S2,…,S100中,正数的个数是.二、解答题9.(2014·福建卷)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.10.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).(1)求证:数列{an+3}为等比数列;(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.11.已知等比数列{an}满足|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列{an}的通项公式.(2)是否存在正整数m,使得11a+21a+…+1ma≥1?若存在,请求出m的最小值;若不存在,请说明1理由.2第40课等比数列1.4解析:因为a5=a3q2=2q2>0,且25a=a3a7=16,所以a5=4.2.3解析:设等比数列{an}的公比为q,由题意得21211118,26,0,aqaaqaqq解得q=3.3.3解析:由a5=2S4+3,a6=2S5+3,两式相减得a6-a5=2a5,得a6=3a5,所以q=3.4.5-125.-2解析:设等比数列{an}的公比为q,由a2a8=2a3a6得25a=2a5a4,因为a5≠0,所以a5=2a4,所以q=2.又因为S5=-62,所以a1(1+2+4+8+16)=-62,解得a1=-2.6.2207.50解析:由题意得2a10a11=2e5a10a11=e5,所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1·a2…·a20)=ln(a10a11)10=10lne5=50.8.100解析:当1≤n≤24时,an>0;当26≤n≤49时,an<0,但其绝对值要小于1≤n≤24时相应的值;当51≤n≤74时,an>0;当76≤n≤99时,an<0,但其绝对值要小于51≤n≤74时相应的值,所以当1≤n≤100时,均有Sn>0.9.(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意得1413,81,aqaq解得11,3,aq因此an=3n-1.(2)因为bn=log3an=n-1,所以Sn=1()2nnbb=2-2nn.10.(1)令n=1,得a1=3.3由Sn+1=2an+1-3(n+1),Sn=2an-3n,两式相减,得an+1=2an+3.即an+1+3=2(an+3),133nnaa=2,所以数列{an+3}为公比为2的等比数列.(2)由(1)知an+3=(a1+3)·2n-1=3·2n,所以an=3·2n-3.所以Sn=6(1-2)1-2n-3n=3·2n+1-3n-6.所以Tn=12(2n-1)-32n2-152n.11.(1)由已知得a2=5,又a2|q-1|=10,所以q=-1或3,所以数列{an}的通项公式为an=5×3n-2或an=5×(-1)n-2.(2)若q=-1,则11a+21a+…+1ma=-15或0,所以当q=-1时,不存在这样的正整数m;若q=3,则11a+21a+…+1ma=911-103m<910,所以当q=3时,不存在这样的正整数m.综上,不存在满足题意的m.4
