几何与函数问题【典型例题】【例1】（重庆）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2错误！未找到引用源。，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜1，1≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜6四种情况讨论。（3）当△AOH是等腰三角形时，分为三种情况，列方程求t的值。【例2】（广西梧州）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）求CD的长；（2）若点P以1cm/s速度运动，点Q以2cm/s的速度运动，连接BQ、PQ，设△BQP面积为S（cm2），点P、Q运动的时间为t（s），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）若点P的速度仍是1cm/s，点Q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现PQ∥DC，请你直接写出a的取值范围．【思路点拨】（1）作辅助线：过D点作DH⊥BC。（2）分Q在CD和Q在DA上两种情况讨论。（3）要使运动过程中出现PQ∥DC，根据平行四边形判定，只要考虑QD＝PC即可。【例3】（山东青岛）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)．(1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？(2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM＝S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．【思路点拨】(1)假设四边形PQCM是平行四边形，从而推出结论。（2）把梯形的上下底和高用t来表示。（3）在假设S四边形PQCM＝S△ABC的条件下，求出t，讨论。（4）在假设点M在线段PC的垂直平分线上，求出此时t的值。【例4】（湖南湘潭）已知，AB是⊙O的直径，AB=8，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC=5，PT为⊙O的切线，切点为T．（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；（3）如图（3），设PT2=y，AC=x，求y与x的函数关系式及y的最小值．【思路点拨】（1）连接OT。（2）连接AT。（3）连接OP、OT，应用勾股定理，可得出y与x之间的关系式。【学力训练】1、（山东聊城）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第ts时，△EFG的面积为Scm2．(1)当t＝1s时，S的值是多少？(2)写出S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。2、（吉林省）如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=90°，CE⊥AD于点E,AD=8cm，BC=4cm,AB=5cm。从初始时刻开始，动点P,Q分别从点A,B同时出发，运动速度均为1cm/s,动点P沿A--B--C--E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B--C--E--D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，...
