1．如图1，已知ABC是等腰直角三角形，90BAC，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是并证明．（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转)3600(，判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；2．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．3．如图，在等边中，于点，点在边上运动，过点作与边交于点，连结，以为邻边作□，设□与重叠部分图形的面积为，线段的长为（1）求线段的长（用含的代数式表示）；（2）当四边形为菱形时，求的值；（3）求与之间的函数关系式；（4）设点关于直线的对称点为点，当线段的垂直平分线与直线相交时，设其交点为，当点与点位于直线同侧（不包括点在直线上）时，直接写出的取值范围．PEFDCBA4．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG=AD，动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒。连接BM并延长交AG于N。（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；（3）过点M分别用AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值。NMHGFEDCBA6．如图1，已知矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，若将该纸片沿着过点B的直线折叠（折痕为BM），点A恰好落在CD边的中点P处．（1）求矩形ABCD的边AD的长．（2）若P为CD边上的一个动点，折叠纸片，使得A与P重合，折痕为MN，其中M在边AD上，N在边BC上，如图2所示．设DP＝xcm，DM＝ycm，试求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．（3）①当折痕MN的端点N在AB上时，求当△PCN为等腰三角形时x的值；②当折痕MN的端点M在CD上时，设折叠后重叠部分的面积为S，试求S与x之间的函数关系式图4CDAPQB7．小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决．问题1：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及PQ最小时APAC的值．（1）在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时=_______；（2）小明对问题1做了简单的变式思考．如图3，P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PC为边作□PCQE，试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小时的值；问题2：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如图4，若P为上任意一点，以PD，为边作□．试求对角线长的最小值和PQ最小时的值．（2）若为上任意一点，延长到，使，再以，为边作□．请直接写出对角线长的最小值和PQ最小时的值．1.【答案】（1）BG=AE；理由参见解析．（2）成立，理由参见解析．【解析】试题分析：（1）证明△GDB≌△EDA即可．（2）仍然用上题的证明思路，连接AD，证明△GDB≌△EDA．试题解析：（1） △ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠ABD=∠ACD=45º， BD=CD，∴AD⊥BC，△ABD和△ACD都是等腰直角三角形，∴BD=DA，又 四边形GDEF是正方形，∴GD=DE，∠GDB=∠EDA=90º，∴Rt△BDG≌Rt△ADE；∴BG=AE；（2）连接AD， Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°， EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠...
