基本不等式及应用VIP专享VIP免费

第1页共6页基本不等式及应用考纲要求考情分析1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．3．了解证明不等式的基本方法——综合法．通过对近三年高考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基本不等式求函数的最值．若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通常出现在选择题和填空题中，如2011年上海卷；若考查基本不等式的变形，即通过对代数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，难度就会提升，如2011年浙江卷．对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往往是作为工具使用，用来证明不等式或解决实际问题.知识梳理1．基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件≤a>0，b>0a＝b2.常用的几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤()2(a，b∈R)(3)≥()2(a，b∈R)(4)＋≥2(a，b同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值设x，y都是正数．(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2.(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值S2.问题探究：当利用基本不等式求最大(小)值等号取不到时，如何处理？提示：若最值取不到可考虑函数的单调性．自主检测1．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为()A．2B．4C．8D．16答案：B解析：≤＝4，故选B.2．(2011年上海高考)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋≥D.＋≥2解析：ab>0，∴a与b同正或同负，∴B，C不正确．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，∴选项A不正确． >0，>0，∴＋≥2当且仅当b＝a时取等号，∴D正确．答案：D3．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是()第2页共6页A．4B．8C．2D．4解析： 2x＋4y≥2·＝2·＝2·＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，∴2x＋4y的最小值为8.答案：B4．当x>1时，求函数f(x)＝x＋的最小值________．解析： x>1，∴x－1>0，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.答案：35．(2010年山东卷)已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．解析： x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．答案：36．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.答案：20解析：每年购买次数为.∴总费用＝·4＋4x≥2＝160，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20.考点1利用基本不等式证明不等式1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”．2．证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立．同时也要注意应用基本不等式的变形形式．例1(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋≥4.(2)证明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.【分析】(1)利用a＋b＝1将要证不等式中的1代换，即可得证．(2)利用a2＋b2≥2ab两两结合即可求证．但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．【证明】(1) a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立)．∴＋≥4.∴原不等式成立．(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.故原不等式得证，等号成立的条件是a2＝b2且c2＝d2且ab＝cd.课堂过手练习：已知a、b、c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8.证明： a、b、c均为正实数，且a＋b＋c＝1，∴(－1)(－1)(－1)＝第3页共6页＝≥＝8.当且仅当a＝b＝c＝时取等号．考点2利用基本不等式求最值1.创设应用基本不等式的条件(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理...