二面角1.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求∠PAC=30°2.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。解：∵BS=BC，又DE垂直平分SC∴BE⊥SC，SC⊥面BDE∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE，且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，则BC=SB=a且AC=易证△SAC∽△DEC∴∠CDE=∠SAC=60°3.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCDDPCABEDBASCSRNMOBDPAC∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于S则RN=CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴∴∴4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求二面角A-BD-C的余弦值。解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD∴E点即为点A在面BCD内的射影∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=∴AD=，∴sin∠ABD=∴又∴∴考虑到我们求的是二面角A-BD-E，而二面角A-BD-C与A-BD-C互补∴二面角A-BD-C的余弦值为。DBAEC5.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。解：设边长为a，易证ANC'N是菱形且MN=，A'C=∴Ｓ□AMC'N=由于AMC'N在面ABCD上的射影即为正方形ABCD∴Ｓ□ABCD=∴∴取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，Ｓ□DM'C'M=∴∴6.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC=CD=1，∠ABC=30°，求二面角的大小。解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，∵AC=CD=1∠ABC=30°∴AD=，BC=，AB=2，BD=在Rt△ABC中，，D’B’DAC’BA’CMNBFEACD同理∴∴∴∴即所求角的大小为。
