4第四讲、第二章 弹性力学平面问题(1、2)VIP免费

ZS《RockMassMechanics》ZS《RockMassMechanics》225/1/31第二章平面问题第二章平面问题基本理论基本理论ZS《RockMassMechanics》25/1/31ZS主要内容主要内容§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的应力主应力§2-4几何方程刚体位移§2-5物理方程§2-6边界条件§2-7圣维南原理§2-8按位移求解平面问题§2-9按应力求解平面问题相容方程§2-10常体力情况下的简化斜方向的应变及位移ZS《RockMassMechanics》625/1/31ZS《RockMassMechanics》725/1/31xyyztba(1)平面应力问题如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力沿z轴方向不变。0z0zx可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有0zy0yzzy0xzzx平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2、平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。2.、平面应变问题水坝滚柱厚壁圆筒(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则,uv,xy,xy沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题0z0yzzy0xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy——平面应变问题注：(1)平面应变问题中0z但是，0z)(yxz(2)平面应变问题中应力分量：)0(,,,zyzxxyzyx——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？非平面问题3、平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：xyyx,,xyyx,,vu,——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。yxxyyx,,yxxyyx,,ZS《RockMassMechanics》1625/1/31xyxyxyBACPxyO取微元体PABC（P点附近），dxPAdyPBDfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ方向取单位长度。设P点应力已知：yxxyyx,,体力：fx，fyPPxyxyxyPBACxyO取微元体PABC（P点附近），dxPAdyPBDfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyZ方向取单位长度。设P点应力已知：yxxyyx,,体力：fx，fyAC面：222)(!21dxxdxxxxxdyyyxyx222)(!21dxxdxxxyxyxydxxxxBC面：dxxxyxydyyyy注：这里两次用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸，并且？？？xyxyxyPBACxyODfxfydyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyy由微元体PABC平衡，得0DM2121)(dxdydxdydxxxyxyxy02121)(dydxdydxdyyyxyxyx整理得：dyydxxyxyxxyxy2121yxxy当0,0dydx时，有——剪应力互等定理0xF11)(dydydxxxxx11)(dxdxdyyyxyxyx01dydxfx两边同除以dxdy，并整理得：0xyxxfyx0yF1)(11)(...