第一节平面向量的概念及其线性运算[知识能否忆起]一、向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则三、向量的数乘运算及其几何意义1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.[小题能否全取]1．下列命题正确的是()A．不平行的向量一定不相等1B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反解析：选A对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.2.如右图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2解析：选C由题图可得a－b＝＝e1－3e2.3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是()A．＝B．＝2C．＝－D．＝－2解析：选B＝＋＋＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.答案：2共线向量定理应用时的注意点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．向量的有关概念典题导入[例1]给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[自主解答]①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．2②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝.③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案]C由题悟法1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.3
