极坐标与参数方程一、极坐标1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ,θ)(叫做点M的__________，记作((ρ,θ)2．极坐标和直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，极坐标为(ρ,θ)，则它们之间的关系为x=_________，y=__________.另一种关系为：ρ2=__________，tanθ=______________.3．简单曲线的极坐标方程(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程ϕ(ρ,θ)=0，并且坐标适合方程ϕ(ρ,θ)=0的点都在曲线上，那么方程ϕ(ρ,θ)=0叫做曲线的____________．(2)常见曲线的极坐标方程①圆的极坐标方程：圆心在极点，半径为r的圆；圆心在(r,0)半径为r的圆；圆心在(r,π2)半径为r的圆.②直线的极坐标方程：过极点且与极轴成α角的直线；过(a,0)且垂直于极轴的直线；过(b,π2)且平行于极轴的直线.【例1.1】完成下列表格中直角坐标与极坐标的互化：点变换方程变换1/13序号直角坐标极坐标序号直角坐标方程极坐标方程1A(4,0)1x=12A(2,2)2y=√3x3A(0,2)3x−y+1=04A(−4,0)4x2+y2=15A(−2,−2)5x2+(y−2)2=16A(0,−2)6ρsinθ=27B(2,3π4)7ρ=28B(4,14π4)8ρ=2cosθ9B(−5,π6)9θ=π4(ρ∈R)10B(−3,−π)10θ=π411B(0,0)1124sin12B(1,−π2)12ρ=2cos(θ−π3)【例1.2】在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.2/13【1.3】圆O1和圆O2的极坐标方程分别为．（Ⅰ）判断直线ρcosθ=4与圆O1的位置关系；（Ⅱ）过圆圆O1圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程；（III）求经过圆O1和圆O2交点的直线的直角坐标方程．【变式训练1】1．(2010·北京)极坐标方程(ρ−1)(θ−π)=0(ρ≥0)表示的图形是()A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线2.在极坐标系中，过圆=6cos的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为.3.曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线C的极坐标方程为___________.4.在极坐标系中，直线24sin被圆4截得的弦长为__.6.在极坐标系中，圆2上的点到直线6sin3cos的距离的最小值是.7.在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是.3/138.在直角坐标系中，原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ−π3)=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；(2)设M,N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．9.在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ−π4)=√22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0,π))时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．10.已知A、B为椭圆x2a2+y2b2=1上动点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求证：（1）1|OA|2+1|OB|2为定值；（2）O到直线AB的距离为定值.4/13二、参数方程1.参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数{x=f(t)¿¿¿¿，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参数.说明：（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义；（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样；（3）在实际问题中要确定参数的取值范围；（4）参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.2.圆锥曲线的普通方程及参数方程：普通方程参数方程及圆圆心在原点，半径为r圆心为(a,b)，半...
