平面向量的数量积的物理背景及其含义教学设计浏阳市田家炳中学唐明甫一、教学内容与任务分析本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版数学必修四第二章第四节2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义。它是平面向量的核心内容，是以之前所学的向量概念为基础，并为之后平面向量的数量积表示模、夹角，以及平面向量的应用奠定了基础。二、学习者分析学生已经学习了向量的概念及线性运算，具备了“功”等物理知识，初步了解了研究算法的一些步骤，但运算律可能无法完整的给出，对于运算律的证明可能会感到困难。三、教学重难点教学重点：（1）平面向量数量积的概念及性质（2）平面向量数量积的运算律的探究及应用教学难点：（1）平面向量数量积的定义（2）运算律的探究、理解（3）平面向量数量积的灵活运用四、教学目标1.知识与技能目标（1）理解平面向量的数量积的含义及其物理背景（2）掌握向量数量积的性质及运算律，会进行平面向量数量积的运算（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的平行垂直关系2.过程与方法目标（1）在探究的过程中，体会类比，从特殊到一般的数学思想（2）培养分析问题，解决问题的能力3.情感态度价值观目标（1）产生数学的学习兴趣（2）体会数学的应用价值五、教学过程一、创设情境，激发兴趣师：一个物体在如图所示的力F的作用下产生的位移s，其中θ角是F与S的夹角那么力F所做的功W为_____________【设计意图】以物理问题为背景，初步认识向量积，为之后向量积的概念的提出做铺垫。二、师生合作、探究概念1.探究向量数量积的概念【师生活动】那在刚才的问题中，功是什么量，它的大小有什么来决定？既然它是由两个向量来决定，那我们能否将功看成是“两个向量相乘”的一种运算呢？如果可以，我们如何去确定符号，什么情况下值为0？师：为此，我们引入数量积这一概念：已知两个非零向量与，我们把数量︱︱︱|cosθ叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·=︱︱︱︱cosθ，其中θ是与的夹角。【学情预设】学生对定义中的关键有所忽视，没有注意。1.那在前面的例子中，假如所用力F为0，或S为0，那功W怎么样啊？因而，规定零向量与任一向量的数量积为0。2.完成下表：θ的范围0°≤θ<90°θ=90°0°<θ≤180°·的符号数量积结果的符号取决于与的夹角θ的大小（θ∈[0,]）特别注意1.·，不能写成或×。2.数量积不是向量，它是数量，因为它是数量间的相乘。3.找向量夹角时，要将两个向量的起点移到同一个点上。【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义，对于定义中的注意点进行强调，加深对定义的认识。2.探究数量积的几何意义如图，θ是与的夹角，我们把││cosθ（││cosθ）SFθ叫做向量在方向上（在方向上）的投影。如图：OB1=︱︱cosθ注：投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为||；当=180时投影为||。·的几何意义：数量积·等于的长度││与在方向上的投影││cosθ的乘积。【设计意图】在定义中提炼出投影的概念，通过几何意义，对向量数量积定义进行进一步认知。3.探究平面向量数量积的性质师：通过平面向量数量积的定义，能否得到下面的结论呢？设和均为非零向量（1）⊥·＝0（垂直）（2）与同向时，·=︱︱︱︱与反向时，·=—︱︱︱︱特别地：·=︱︱2=（长度）（3）︱·︱≤︱︱︱︱（注意等号成立的条件）【设计意图】通过对向量间特殊位置的讨论，加深对向量数量积的理解。4.探究向量数量积的运算律我们学过了实数的哪些运算律，这些运算律对于向量是否也适用？问题2：（1）（2）（3）（4）以上正确的是________【设计意图】通过问题引起分歧，产生思维冲突，引导解决冲突，得到统一结果，体会法则与法则间的联系与区别，从而加深对向量数量积运算律的认知三、巩固训练、提升能力四、归纳总结、布置作业对本节课所学知识进行归纳总结1.平面向量数量积的概念2.平面向量数量积的几何意义3.平面向量数量积的性质【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对平面向量数量积的理解与运...
